2/29/2012

„Punctul de aur” sau „Buricul” pământului


    
    Segmentul de aur, triunghiul de aur, dreptunghiul de aur, rombul de aur, pentagonul regulat prin însăşi definiţia lui este de aur…Ttrebuia să existe şi "punctul de aur". Teoretic este punctul care împarte un segment în medie şi extremă raţie.
    Că există pe Pământ un asemena punct este şi firesc, deoarece pe orice segment (sau arc) există un astfel de punct. Misterul este că se crede că există un loc pe Pământ care împarte atât meridianul cât şi paralela pe care se află în raportul φ.
     Cunoaştem că ombilicul omului îi împarte înălţimea în celebrul raport φ=1,61…. Dacă există un astfel de punct pe globul pământesc este firesc să fie denumit "buricul pământului"…
    Să facem această probă: oraşul Mecca (despre acest oraş este vorba) are conform Wikipedia coordonatele 21˚25´21.15"N şi 39˚49'34.11"E, punctele O1 şi O2 aceeaşi latitudine (fiind pe meridianul şi respectiv anti-meridianul Greenwich) iar longitudinea este 0˚, respectiv 180˚. Punctele N (polul nord) şi S (polul sud) sunt la 90˚ faţă de Ecuator. Nu este nevoie să calculăm distanţele în kilometri deoarece sunt suficiente lungimile arcelor măsurate în grade.

    Efectuăm raportul MS/MN şi găsim 1,62…. Dar raportul MO1BO2/MO1B nu mai este chiar ceea ce se presupune ci 1,69…. Eroarea este destul de mare, deci punctul M nu este chiar "buricul Pământului", ci aşa, pe aproape.
    Se spune că de altfel Mecca este şi punctul de aur al Arabiei Saudite, iar Kaaba este punctul de aur al oraşului Mecca.
    Nu este singurul mister legat de acest loc. Astronautul Neil Armstrong a sesizat pe reprezentările vizuale ale
radiaţiilor terestre luate din spaţiu că în această zonă "magnetismul este zero", ca şi cum acul unei busole nu s-ar mişca indiferent de poziţia acesteia. Interpretări mai mult sau mai puţin ezoterice ar fi că persoanele aflate în acel loc sunt încărcate cu energii misterioase. Cu alte cuvinte, cine a fost la Mecca trăieşte sănătos mult timp!
        Iată un desen reprezentând Kaaba în 1911.
şi alta, contemporană


    Aceasta ar fi una din justificările avalanşei de pelerini între a opta şi a douăsprezecea zi a ultimii luni a calenadrului islamic. De fapt canoanele credinţei islamice spun că orice mahomedan trebuie ca măcar o dată în viaţă să ajungă la Mecca, unde trebuie să înconjoare cubul de şapte ori. Important este că ei nu se închină cubului ci lui Allah, cubul indicând doar direcţia de închinăciune. Oricum, oriunde s-ar afla, ei se închină de cinci ori pe zi cu faţa înspre Mecca, şi primul lucru pe care-l fac atunci când se stabilesc undeva este să localizeze cu precizie poziţia oraşului sfânt.

Legenda spune că izgonit din rai pentru păcatele sale, Adam şi-ar fi construit Kaaba şi un înger i-ar fi adus Piatra neagră. O altă legendă spune că piatra ar fi căzut din cer pe dealurile din apropiere, şi că era mai albă decât laptele, dar păcatele lui Adam şi a urmaşilor săi au înnegrit-o. (Probabil piata este de natură meteorică dar studii ştiinţifice nu pot fi făcute deoarece religia interzice dislocarea veunei părţi a ei sau transportarea în vreun laborator.)
    Prin tradiţie, religia musulmană spune că în jurul anului 2130 î.Hr. Avraam ar fi construit acest locaş împreună cu fiul său Ismael şi că este asemănătoare locuinţei lui Alah din ceruri. Arabii consideră că cea mai veche moschee din lume este cea de la Kaaba, chiar mai veche decât templul lui Solomon din Ierusalim, care este mai "tânăr" cu aproape 1000 de ani.
     În anul 610 Mahomed a avut o revelaţie în care îngerul Gabriel i-a apărut şi i-a transmis cuvântul lui Allah, textul cărţii sfinte a musulmanilor, Coranul. Lui, care nu ştia să scrie şi să citească! Cu toate aceste a a înţeles-o perfect şi a început să o propăvăduiască, adunând tot mai mulţi adepţi. S-a proclamat trimisul lui Allah pe Pământ. De aceea a fost izgonit din Mecca la Yatrib, oraş denumit mai apoi Medina (oraşul profetului). Anul 622, este considerat anul Hegirei (anul fugii) şi practic este anul începutului erei islamice. La Medina el a stabilit care sunt regulile pe care trebuie să le respecte orice musulman: rugăciune de cinci ori pe zi cu faţa înspre Mecca, milostenia, postul de Ramadan (a noua lună a anului islamic) şi pelerinajul la Mecca, realizat măcar o dată în viaţă. În anul 630 a întrat cuceritor în Mecca însoţit de 10000 de adepţi şi a devenit conducătorul politic şi religios al arabilor.

    "Cubul" (în arabă kaaba înseamnă cub) este din granit şi nu este chiar cub ci are o formă paralelipipedică ale cărei dimensiuni se văd pe figură. Este acoperit cu un brocart negru pe care sunt brodate cu aur versete din Coran. De două ori pe an, după ceremoniile de Hajj, cubul este închis câte o lună pentru purificare, este spălat spalat cu apă de la fântâna sacră Zamzam şi este adusă o nouă Kiswah (brocart).


    Cele patru colţuri ale cubului sunt exact pe direcţia punctelor cardinale: spre est, Al-Hajar l-Aswad, colţul pietrei negre, spre nord – colţul irakian, spre vest – colţul levantin şi spre sud – colţul yemenit. În exterior un zid semicircular de marmură albă, Hatim, protejează o zonă în care se spune că există mormintele lui Ismael şi a mamei sale Hager. Pardoseala este din marmură şi calcar, pereţii interiori sunt placaţi cu marmură până la jumătate iar partea superioară acoperită cu un brocart verde, şi inscripţionaţi deasemeni cu versete din Coran.

     Oricum, orice calcule am face între dimensiunile prezentate pe scheme, numărul de aur nu mai apare!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2/23/2012

coloana infinită



 
"Nimic nu creşte la umbra marilor copaci"
    Poate nimeni nu a înţeles subtilităţile creaţiilor folclorului românesc aşa cum a făcut-o Brâncuşi. Aşa de exemplu, el a simţit ca nimeni altul legătura cerului cu pămîntul pe care magnific le-a unit prin Coloana infinită, sau prin ciclul Păsările.
    Sculptorul ţăran, mândru şi hotărât, a plecat (în 1903) spre Paris hotărând să parcurgă drumul pe jos. S-a oprit la Viena să viziteze muzeele, a ajuns la la München cu acelaşi scop, apoi prin Bavaria şi Elveţia până în Franţa. O ploaie care l-a îmbolnăvit l-a împiedicat să ajungă la Paris pe jos, dar tot a ajuns.
    Într-o primă etapă a creaţiei sale a fost influenţat de opera lui August Rodin, dar a refuzat să fie elevul său pentru că, spunea el, "nimic nu creşte la umbra marilor copaci", recunosând: "dacă n-ar fi fost Rodin, nimic din ceea ce am realizat nu ar fi fost posibil".
    La Paris a fost impresionat profund de Turnul Eiffel, abia ridicat cu câţiva ani în urmă (în 1889), dar era convins că poate realiza ceva, cel puţin tot atât de măreţ. De aceea când în 1934 a primit comanda pentru un monument închinat tinerilor eroi români căzuţi în primul război mondial, a primit-o imediat. Comanda fusese mai întâi oferită Miliţei Pătraşcu, pe care aceasta, cu veneraţie a declinat-o, cedând-o maestrului său (sculptoriţa a fost eleva lui Brâncuşi). Comanditara a fost Aretia Tătărăscu prin Societatea "Liga Naţională a Femeilor gorjene", care i-a acordat lui Brâncuşi deplină libertate de creaţie şi care s-a ocupat de obţinerea fondurilor necesare.
    Aţi auzit de vreo asociaţie, de vreun ONG, sau vreo societate care să se ocupe în zilele noastre de un lucru cât de cât serios pentru susţinerea vreunui proiect cultural? Poate doar declarativ, dar să se şi vadă ceva, poate nu de măreţia ansamblului de la Târgu Jiu, dar ceva…
    Să revenim la Brâncuşi.
    "Era un omuleţ minunat cu barbă, cu ochi întunecaţi, pătrunzători: un amestec de tăran hâtru şi de geniu" (Peggy Guggenheim). "Ştiam că este un arţăgos, nu prea îngăduitor, ursuz, aproape crud, [] un bătânel de optzeci de ani, cu bâta în mână, îmbrăcat în cojoc alb, având pe cap o căciulă mare de blană albă, cu barbă albă de patriarh şi, fireşte cu ochii sclipitori de şiretenie" (Eugen Ionescu). "Era cel mai experimentat cunoscător al problemelor artei. Îşi însuşise întreaga istorie a sculpturii, pe care rând pe rând a dominat-o, a depăşit-o sau a respins-o, a regăsit-o, a purificat-o, reinventând-o. A desprins din ea esenţa." (Eugen Ionescu)
    În 1920 Brâncuşi ciopleşte în trei zile o "Coloană fără sfărşit" înaltă de 7,17 metri dintr-un stejar aflat în curtea unui prieten de-al său, chiar acolo unde a crescut copacul, la Voulangis, în împrejurimile Parisului. Coloana va fi tăiată chiar de Brâncuşi atunci când prietenul său (Edward Steichen) s-a reîntors în Statele Unite, operaţie care i-a lăsat muţi de uimire pe prieteni, deoarece Brâncuşi a făcut mai întâi o singură tăietură verticală cu fierăstrăul, fără să doboare coloana.

    În atelierul său din Paris se găsesc mai multe versiuni ale Coloanei, împreună cu trunchiuri de copac, blocuri de piatră, un cuptor, numeroase unelte, ferăstraie de mână, dălţi, pile, răzuitoare, rulmenţi, o şlefuitoare electrică, suspendată de plafon printr-un sistem ingenios de scripeţi. Chiar şi scaunul de lucru aminteşte de scaunele de la Masa tăcerii.

 
    Ansamblul de la Târgu Jiu fascinează prin simbolistica pe cât de sofisticată, pe atât de pe înţelesul tuturor românilor.
    Numărul de aur este secretul operei lui Brâncuşi. El spunea: "Prin artă te vei detaşa de tine însuţi iar măsura şi numărul de aur te vor apropia de absolut". Cei care l-au cunoscut şi au lucrat cu el spuneau că sculptorul făcea tot timpul calcule, explicând că "numărul este legat de Dumnezeu". El se referea de fapt la misterul numărului de aur. Iar măsurătorile făcute de cercetători, după moartea sa, lucrărilor sale, au confirmat legătura cu acest număr.
    Coloana infinită, şi nu "a infinitului" , iniţial se numea "coloana sacrificiului infinit". Este alcătuită din 17 piese - 15 module întregi şi câte o jumătate la fiecare capăt, pe care Brâncuşi le numea "mărgele", înşiruite vertical pe o axă metalică. Fundaţia este din beton, ajunge la o adâncime de 5 metri şi are formă de trunchi de piramidă cu baza mare un pătrat cu latura de 4,5 metri.


     Fiecare modul este un poliedru cu zece feţe - decaedru, dar atât de mult prelucrate încât nici o faţă nu mai este plană. Orice secţiune transversală printr-un modul este un pătrat iar secţiunea transversală este un hexagon convex cu numai două axe de simetrie, una verticală şi una orizontală. În acest hexagon, special gândit pentru Coloană, se înscrie perfect un om care are înălţimea de 1,80 m, cu doar 3cm mai mică decât cea adoptată ca unitate a armoniei de Le Corbusier pentru al său modulor. Este recunoscut faptul că Brâncuşi nu a imitat niciodată formele geometrice elementare, ci le-a stilizat până la desăvârşire. Iniţial laturile înclinate ale hexagonului făceau unghiuri de 140 cu verticala, şi două din ele prelungite formează un unghi de 280. Dar pentru a crea armonie şi în acelaşi timp unicitate, feţele "mărgelelor" au fost curbate şi şlefuite astfel că unghiul de 280 devine unghi de 360, unghiul ascuţit al triunghiului format de două laturi consecutive şi de diagonala unui pentagon regulat, acela despre care am spus că este "creatorul" lui φ.
    În geometria Coloanei se află cheia întregii filozofii a ei: verticalitatea ei perfectă, faptul că fiecare modul începe acolo unde se termină precedentul, repetarea elementelor constitutive şi mai mult, s-ar putea adăuga oricâte fără a-i tulbura echilibrul.
        "Motivul abstract al suportului este repetat până la realizarea autonomiei operei care "nu va mai susţine decât cerul". Imaginea pe care o contemplă privitorul este aceea a unei succesiuni de trunchiuri de piramidă, sprijinite una de altă, două pe baza mare, alte două pe baza mică. Ceea ce se reţine pe retină este o succesiune de romburi, compoziţie care dă naştere unei senzaţii de ritm în continuă schimbare.
    Este semnificativ faptul că Brâncuşi a găsit în Coloana fără sfârşit, un motiv românesc, "Columna cerului", care continuă o temă mitologică atestată încă din vremuri preistorice. [] Actul de a concepe axis mundi ca o coloană de piatră ce susţine lumea reflectă foarte probabil credinţa culturilor megalitice." (Mircea Eliade)
    În parcul de la Târgu Jiu, pe aceeaşi axă, nu departe de malul râului, Brâncuşi construieşte Poarta sărutului, monument care celebrează dragostea şi pacea într-un loc al meditaţiei. Câţiva paşi mai încolo se află Masa tăcerii, ce aminteşte de universul cotidian al atelierului său (înţesat de scaune mici tărăneşti), ridicat la înălţimea monumentalului şi a simbolului.

 

2/19/2012

TAJ MAHAL -„ELEGY IN MARBLE”



 
    La naşterea celui de-al 14-lea copil, Mumtaz Mahal s-a stins din viaţă. Soţul său, mogulul indian Shah Jahan, nu numai că a albit complet la moartea ei, dar a hotărât să-i îndeplinească una dintre ultimile-i dorinţe, aceea de a-i ridica un palat mausoleu la care să vină anual să se roage. Ce iubire puternică, ce pasiune sfâşietoare va fi fost între aceşti oameni încât, el să-i respecte dorinţele chiar şi după ce ea nu mai exista. Oricâte daruri îi va fi făcut în timpul vieţii, oricâte versuri vor fi fost rostite între cei doi, oricâte jurăminte - asumate şi respectate din partea amândorura - se vor fi rostit între ei, oricum îi va fi arătat trupul după atâtea naşteri, nimic nu a fost suficient pentru prinţul îndrăgostit. (Poate au indienii o genă specială a pasiunii care le şi justifică creşterea exponenţială a natalităţii.)

    Mumtaz Mahal, prinţesa persană musulmană, înseamnă "bijuteria palatului", nume pe care i l-a dat soţul său. Provenea dintr-o familie de nobili persani. Shah Jahan a cunoscut-o pe cînd aceasta avea 14 ani, dar au aşteptat cinci ani până să se căsătorească, la o dată stabilită de astrologi ca fiind cea mai potrivită pentru a le asigura o căsătorie fericită. Shah Jahan avea deja două soţii, dar faţă de acestea nu a manifestat vreun interes poligam, doar atât cât să-i asigure câte un moştenitor. Mumtaz a fost cea mai arzătoare pasiune a soţului său, dar era şi un excelent sfetnic şi tactician pentru mogulul implicat continuu în lupte pentru succesiune, o confidentă de încredere, încât i-a fost încredinţat chiar sigiliul imperial. Călătorea cu el oriunde îl purtau războiele şi chiar ultima naştere, cea care i-a adus sfârşitul, a avut loc într-o campanie militară. O altă ultimă dorinţă a sa a fost ca Shah Jahan să nu se mai căsătorească, cerere care i-a fost îndeplintă. De altfel el a abdicat în favoarea unuia dintre fii şi a hotărât să înceapă construcţia palatului mausoleu. După ce a ridicat palatul, un alt fiu al său – adus la putere de interminabilele lupte dinastice, l-a menţinut pe tatăl său în arest la domiciliu timp de 9 ani, la fortul Agra, unde singura sa mângâiere era priveliştea minunată pe care i-o oferea, prin ferestrele captivităţii, măreţul palat.

    Construcţia palatului a durat 22 de ani, între 1631 (anul morţii prinţesei) şi 1653. Este situat pe râul Yamuna, şi a necesitat munca a cel puţin 20.000 de oameni. Materialele au fost aduse din toată Asia, pentru transportul lor fiind folosiţi aproape 1000 de elefanţi. La fel specialiştii: arhitectul şef, persanul Ustad Ahmad Lahouri, turcul Ismail Afandi – proiectantul domului principal, sculptori din Bukhara, caligrafi din Siria şi Persia, bijutieri din China.
    Complexul muzeal include palatul, patru minarete, două moschei, dintre care doar una este funcţională, cealaltă diind ridicată pentru a păstra simetria amplasamentului, grădina şi, poarta de acces în Taj Mahal.
    După ce s-a realizat o machetă din lemn s-a trecut la execuţia propriu-zisă, constructorii fiind legaţi prin legămînt să nu divulge nimănui secretele de moment ale muncii lor dar nici să nu le mai folosească vreodată. Se spune că pentru înălţarea construcţiei s-a ridicat de asemenea o schelă din cărămizi, iar arhitecţii credeau că va dura mai mult demolarea ei decât însăşi construcţia monumentului. Dar printr-un ordin al mogulului, cei care ajutau la demolarea schelei, cu grijă pentru a nu afecta clădirea, puteau să-şi ia acasă cărămizile. Astfel, se zice că într-o singură noapte schela a fost eliminată. Schele de protecţie au fost ridicate şi în timpul celui de-al doilea război mondial, la fel şi în timpul războielor indo-pachistaneze.

    Construcţia, o bijuterie a arhitecturii mughal, începând cu poarta principală a cărei deschidere simbolizează vălul purtat de femeile indiene în noaptea nunţii, combină însă şi elemente de arhitecturiă persană, islamică, indiană.
    Taj Mahal este realizat din marmură albă, care la răsăritul soarelui pare roz iar seara are irazaţii alb gălbui, încrustată cu 28 de tipuri de pietre semipreţioase: jad şi cristal din China, turcoaz din Tibet, Lapis-lazuli din Afhanistan, safir din Sri Lanka.

    Ansamblul este format din edicficiul central, 4 minarete cu o uşoară înclinare spre interior sugerând protejarea clădirii şi o grădină splendidă, un pătrat cu latura de 320m.
    Construcţia principală este plasată pe o platformă pătrată de marmură albă cu latura de 95,5m şi înălţimea de 7 metri, faţada principală este un pătrat. În vârful cupolei se află o lună - motiv islamic, iniţial din aur, acum înlocuită cu una de broz aurit; la colţuri se înalţă cele 4 minarete, cu balcoane de la care muezinii chemau credincioşii la rugaciune. Înălţimea unui minaret este de 35m, aproximativ egală cu latura cubului interior (pe acelaşi principiu se bazează Marea piramidă din Egipt), iar vârful lor este decorat cu câte un lotus, pentru a le accentua spectaculozitatea.
    Camera principală găzduieşte cenotafele celor doi, mormintele lor propriu-zise sunt undeva la un nivel inferior al clădirii, şi nu sunt accesibile publicului. Sarcofagul lui Muntaz este plasat chiar în centrul camerei, al soţului ei fiind adăugat mai târziu, este mai mare, dar este singurul obiect care disturbă simetria întregului ansamblu. Această încăpere centrală are forma cubică, baza fiind rotunjită la colţuri, căpătând forma unui octogon.
    Decoraţiile, atât cele interioare cât şi cele exterioare, stucaturile, inserţiile în piatră, sculpturile, basoreliefurile din marmură, caligrafiile elaborate, sunt toate fără forme antropomorfe – interzise de Coran.



    Complexul arhitectural Taj Mahal se află acum sub protecţia UNESCO, şi este inclus într-un program de salvare în faţa pericolului poluării, şi a degradării datorită curiozităţii scormonitoare a celor cel puţin două milioane de vizitatori anual.
     Dar partea cea mai interesantă abia acum urmează: complexul Taj Mahal foloseşte un sistem propriu de armonie, totul fiind bazat pe tăietura de aur.
    
    Uşa de la intrare – un dreptunghi cu laturile în tăietură de aur, în care diferite elemente constitutive sunt părţi ale acestuia, arcele bolţilor se încadrează perfect în tăietură de aur, cenotafele cu laturi în aceeaşi secţiune de aur - φ , totul a fost bazat pe secţiunea de aur, iar elementele care par a nu avea nici o legătură aceasta, sunt de fapt dependente de ea.

    Secţiunea verticală prin vârful O1 al palatului şi punctele A şi D, picioarele minaretelor, este un triunghi isoscel cu unghiul de la bază sensibil egal cu unghiul Marii Piramide din Egipt. Punctele G şi J, care marchează picioarele coloanelor imediat laterale intrării, împart baza AD în raportul φ. Proiecţiile mijlocului bazei pe laturile egale ale triunghiului isoscel O1AD, prelungite ajung în vîrfurile minaretelor. Medianele relative laturilor egale ale acestui triunghi se taie în O (centrul de greutate al triunghiului), vârful pentagonului regulat care desemnează intrarea. Pătratul GG2J2J reprezintă faţada principală. Punctul S împarte înălţimea O1O2 în raportul φ.
    Baza pătrată a clădirii, îmbogăţită cu arabescuri elaborate, este şi ea o capodoperă a numărului de aur.
                                         

 
  • Latura AB a pătratului mare este tăiată de punctele C şi D în tăietură de aur:
  • Acelaşi lucru despre T şi S;
  • J, H, G, E sunt mijloacele laturilor;
  • Laturile AB şi PK ale pătratelor sunt în raportul φ;
  • Triunghiul OMN este triunghi de aur,
  • Punctul K împarte jumătatea diagonalei pătratului mare în raportul φ;
  • Octogonul albastru (atenţie, nu este regulat) dă forma podelei camerei interioare;
    Mai rămâne doar să fiţi unul dintre cele două milioane de vizitatori.

 

 

 

2/13/2012

Salvador Dali


Pe măsură ce tinereţea trece şi timpul aduce schimbări, se poate ca şi noi să ne schimbăm multe din opiniile noastre actuale. Aşa că haideţi să ne abţinem de a ne plasa pe noi înşine ca judecători pentru lucrurile înalte.
(Platon)

 
    Multe dintre canoanele armoniei sunt pe larg explicate de Matila Ghyka în "Estetica şi teoria artei".
    A cunoscut-o la Paris pe Miss Hellen Wills, (campioană SUA la tenis în 1905), al cărui chip "are rara însuşire de a nu oferi doar o temă aparentă pentru secţiunea de aur, ci şi un canon ideal, modelat cu rigoare de aceasta".

    Fotografia din imagine lămureşte asupra proporţiilor caracteristice unui chip armonios. Capul este încadrat într-un dreptunghi cu laturile în tăietură de aur, de la bărbie la linia sprâncenelor este exact un pătrat, nasul, gura, ochiul, toate se încadrează perfect în aceeaşi regulă.

    Am găsit pe Fashion Historia câteva fotografii ale acestei femei şi am căutat respectarea proporţiilor şi din profil, iar rezultatele au fost covârşitoare. Drepunghiurile puse în evidenţă pe figură, sunt în tăietură de aur, şi nu numai ele.
    Nu înseamnă că femeia era de o frumuseţe răpitoare, aşa cum sunt considerate modelele din zilele noastre, dar era atât de armonios chipul său, încât a fost perfect pentru a-l face pe Matila Ghicka să-şi justifice teoriile cu ajutorul fotografiilor ei.
    Spuneam, într- postare anterioară, că marelui Le Corbusier i se părea cam forţată ideea folosirii "armoniei divine" în arhitectură. Citind însă lucrările lui Matila Ghicka, el şi-a schimbat cu totul optica.
    Deosebită este însă contribuţia românului la realizarea unor opere de o ale marelui Salvador Dali.
    Matila Ghicka şi Salvador Dali s-au cunoscut la o recepţie oferită de aceeaşi Helen Wills. Pictorul s-a arătat interesat de teoriile estetice ale lui Ghicka (acesta folosise deja fotografia tenismenei pentru ilustarea cărţii sale Le nombre d'or). A urmat o colaborare strânsă. Chiar dacă în acel moment Dali nu avea cunoştinţele matematice necesare pentru a înţelege întreg substratul matematic al teoriilor lui Ghicka, el a reuşit să stăpânească tehnica proporţiilor pentagonului. Ghicka i-a calculat proporţiile pentagonului în care este înscrisă figura principală a tabloului Leda atomica, pe care acesta l-a realizat în 1947.

    Însăşi schiţa pentru tablou este una dintre lucrările remarcabile ale suprarealismului. Leda şi lebăda sunt amplasate în interiorul unui pentagon regulat ale cărui diagonale determină o stea (pentagonul stelat) şi ale cărui vârfuri simbolizează dragostea, ordinea, lumina (adevărul) voinţa şi cuvântul (acţiunea). Convins fiind că orice operă de artă poate fi considerată ca atare dacă se bazează pe compoziţie şi calcul, Dali chiar a scris în colţul din dreapta jos a tabloului formula raportului de aur.

    Legenda Ledei, regina mitologică a Spartei spune că aceasta a fost violată în chiar noapte nunţii de Zeus, care luase chip de lebădă. Regina a născut la diferenţă de două ore câte o pereche de gemeni Castor şi Polux, mai apoi Clitmnestra şi Elena. Unul din gemenii fiecărei perechi era nemuritor, celălalt simplu muritor.
    Tabloul este un portret de frondă al soţiei sale Gala, fixat după cum o devedesc rocile din fundal, la Cap Norfeu, în Catalonia. De ce de frondă ? Dali a fost profund impresionat de lansarea bombei atomice de la Hiroşima, şi a înţeles discontinuitatea materiei pe care a exprimat-o printr-un sentiment misterios de levitaţie al personajelor şi al tuturor obiectelor desenate. Aşa cum la nivel atomic particulele fizic nu se ating, tot astfel Dali suspendă nu numai lebăda, trupul Galei - piciorul sau şezutul său, cartea, sau orice alt obiect solid, dar chiar şi apa, nici un obiect nefiind conectat de altul.
    Pe de altă parte, în geneza tabloului, Dali s-a identificat cu Pollux, Castor (eroul muritor) fiind fratele său mai mare - numit de asemenea Salvador, mort cu trei luni înainte de naşterea execntricului geniu - iar Gala o reprezenta pe Elena.

     Un alt tablou bazat pe teoriile lui Ghicka este Madona de la port Lligat, realizat în 1949 (Port Lligat este o zonă în Catalonia, regiune în care s-a născut pictorul). Dali a realizat trei tablouri cu acelaşi titlu, primul aflându-se actualmente la Muzeul de artă Milwaukee, Wisconsin. Al doilea datează din 1950 şi se află la Muzeul de Artă Fukuoka, Japonia, are dimensiuni mai mari (144X96cm) şi câteva detalii schimbate. Tabloul respectă o construcţie geometrică precisă, figura Madonei (reprezentată tot de soţia sa) fiind încadrată într-un triunghi plasat peste dreptunghiul format din tabernacul, proporţiile formelor geometrice fiind cele ale secţiunii de aur. Madona ţine în braţe pe pruncul Isus, în ai cărui ochi se intersectează diagonalele, şi care printr-o gaură în trupul său protejează pâinea euharistică.
     Cel mai cunoscut dintre tablourile care indică respectarea construcţiilor geometrice pe care i le-a sugerat Matila Ghicka este fără îndoială Sacramentul Cinei cea de Taină, o altă viziune a celebrului tablou a lui Leonardo da Vinci.

    Tabloul, realizat în 1955, are dimensiunile în secţiune de aur. Isus nu este aşezat la masă cu ucenicii, ci este reprezentat în partea superioară a tabloului, deasupra unui dodecaedru, suprapus peste o imagine a golfului Port Lligat. Masa este poziţionată exact la secţiunea de aur a înălţimii, cei doi discipoli din prim plan sunt poziţionaţi fix pe tăietura de aur a compoziţiei, ferestrele din fundal sunt pentagoane regulate, etc.
    O recunoaştere a importanţei lucrărilor lui Ghicka este însăşi tratatul lui Dali, 50 Secrets af magic craftmanship (5o de secrete ale măiestiei artistice) în care artistul reprezintă corpurile platonice ca forme artistice esenţiale şi le recomandă elevilor săi să construiască machete ale acestor corpuri, suficient de mari pentru ca modele vii să poată poza în interiorul lor.

 

 

ARMONIA POLIEDRELOR REGULATE


"Artistul dezvăluie omenirii calea spre armonie, care e fericire şi pace."
George Enescu

    Am vorbit până acum sespre "canoane armonice" plane, reprezentând construcţii geometrice situate pe aceeaşi suprafaţă plană. Or, în arhitectură, este vorba în special de compunerea unor volume. Respectând ideea seriei numărului φ, vom ajunge, volens nolens, la studierea celor cinci solide platonice, a înscrierii lor într-o sferă precum şi la analiza elementelor ortogonale ale volumelor.
    Forma unui dreptunghi care mărgineşte o faţă a unui poliedru este determinată de raportul lungimilor laturilor. Cele mai des utilizate în arhitectură sunt cele cu laturile în raportul 4/3, √2 =1,41… sau φ = 1,61…    
    Analog, putem caracteriza forma unui paralelipiped prin rapoartele existente între cele trei dimensiuni ale sale - fie ele a, b, c.
    Grecii au preferat paralelipipedele (volumele) de forma a, a, b, cu b<a - cărămizile şi b>a - grinzile.
  
  Egiptenii au utilizat frecvent paralelipipedele cu dimensiunile proporţionale cu 1, 1, φ sau cu 1, φ, φ, sau cu 1, φ, φ2 (volumul de aur), sau aproximaţiile fibonacciene 6, 6, 10 sau 6, 10, 10 sau10, 16, 26 (acestea se aplică proporţiei
 unde a, b, c sunt trei numere consecutive din şirul lui Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …) (vezi Matila Ghicka, Estetica şi teoria artei). Acestea sunt cele mai interesante volume - volumele egiptene.
    Aşa de exemplu camera regelui din Marea Piramidă are dimensiunile 4, 2, √5, (baza este un careu dublu, adică o latură este dublul celeilalte), deci diagonala paralelipipedului este 5,
,
 astfel că dreptunghiul secţiune diagonală are laturile 2√5 şi √5 - tot un careu dublu (dimensiunile sunt în coţi egipteni 1 cot =0,524m).
    Pentru greci aceste consideraţii erau considerate taine, doar iniţiaţii avînd acces la ele, şi anume pitagoricienii. Divulgarea unor metode de construcţii geometrice, în speţă cele care impuneau folosirea numerelor care nu erau pătrate perfecte, atrăgeau excomunicarea din şcoala lui Pitagora. Este cazul lui Hippocrate din Chios, sau a lui Hippasus, care ar fi divulgat construcţia dodecaedrului regulat (acesta impunea folosirea lui √5).
    Utilizarea numerelor iraţionale era deci un secret, cum de altfel se vede din legenda care stă la baza problemei duplicării cubului. Se spune că pentru a scăpa de ciuma care bântuia ţara, grecii ar fi vrut să-i cumpere bunăvoinţa oracolului din Delos. Acesta le-ar fi poruncit să-i construiască un altar un altar "de două ori mai mare". Altarul avea forma de cub. Nu cu latura de două ori mai mare, căci atunci volumul s- ar fi multiplicat cu opt, ci volumul să fie de două ori mai mare. Problema este de nerezolvat "pe cale euclidiană" (cu rigla şi compasul), căci dacă latura cubului iniţial ar fi a iar latura noului cub x, atunci ar trebui rezolvată ecuaţia
,
ceea ce solicita construirea rădăcinii cubice a lui 2. Platon a găsit o soluţie "mecanică" pentru problemă, dar bineînţeles că aceasta presupunea oarecare aproximări. (În imagine, Platon, detaliu din Şcoala din Atena a lui Rafael).

    Revenind la problema cerinţelor unor armonii arhitecturale, să mai spunem că Vitruviu (80/70 î.Hr. – 15/23 d. Hr.), părintele arhitecturii, a fost acela care a stabilit "commodulatio" sau jocul simetriilor şi al proporţiilor. Luca Pacioli (1447-1517) înţelegînd perfect raţionamentele anticilor, recomandă arhitecţilor nu numai cele cinci poliedre regulate ("din cauza divinei proporţii care le leagă") ci şi corpurile semiregulate arhimedice, adică poliedre care se pot înscrie într-o sferă, având toate muchiile egale, şi drept feţe poligoane regulate de două sau trei feluri diferite. Aşa se explică prezenţa rhombicuboctaedrului în tabloul despre care am vorbit în postarea anterioară.
    Interesant este că deşi se numesc "platonice" (Platon 427-347 î. H.), ele erau cunoscute cu foarte mult timp înainte. La Muzeul Ashmolean (Oxford) din Anglia sunt expuse cele cinci corpuri regulate, sculptate în piatră, şi care datează cu o mie de ani înaintea lui Platon
    Cele cinci corpuri platonice, singurele de fapt, sunt cubul sau hexaedru – mărginit de 6 feţe pătrate, tetraedrul regulat –mărginit de 4 triunghiuri echilaterale, octoedrul regulat – mărginit de 8 triunghiuri echilaterale, dodecaedrul regulat – mărginit de 12 feţe pentagoane regulate şi icosaedrul – mărginit de 20 de feţe triunghiuri echilaterale.

  Este celebră coperta volumului de memorii ale Gerdei Barbilian (soţia poetului şi matematicianului Ion Barbu) - cele cinci corpuri platonice înscrise unul în celălalt.
    Nu neaparat descrierea celor cinci corpuri face obiectul acestei scrieri, ci importanţa lor în armoniile picturale şi arhitecturale.
      Dar despre acestea, data viitoare.

2/09/2012


    Tehnica "sectio aurea"

       
            Aţi participat vreodată la momentele în care un pictor îşi începe lucrul la un tablou? După ce îşi alege tema, materialele, spaţiul de lucru, primul lucru pe care îl face este să stabilească dimensiunea tabloului. Dacă este un tradiţionalist, el stabileşte dimensiunile după armoniile muzicale, despre care am vorbit, sau cel mai adesea, după dimensiunile dreptunghiului de aur. Apoi cînd se găseşte în sfîrşit în faţa şevaletului, pânza fiind fixată, el începe să traseze nişte linii misterioase. După multă experienţă, sau dintr-un simţ estetic desăvârşit, acestea se trasează "din ochi". Frecvent, între laturile dreptunghiului se foloseşte un raport foarte apropiat de numărul de aur, laturile având ca dimensiuni două numere consecutive din şirul lui Fibonacci, sau multiplii acestora (3, 5, 8, 13, 21, 34,…).
         Structura geometrica a tabloului presupune împărţirea dreptunghiului în 16 părţi după principiul raportului de aur, aplicat fiecărei laturi.
         Cum se împarte un segment în medie şi extremă raţie?

           Se porneşte de la segmentul AB = 1, se ridică în A o perpendiculară pe care se ia AC =AB = 1 şi se construieşte arcul de cerc cu centrul în D ( mijlocul segmentului AB) şi rază DC. Găsim punctul E şi atunci raportul între AB şi EB este căutatul număr de aur (printr-o elementară aplicare a teoremei lui Pitagora). Se repetă acest raţionament în fiecare vîrf al triunghiului, în aceeaşi ordine, şi obţinem schema de mai jos.

    Astfel punctul A împarte segmentul EC în secţiune de aur, analog C împarte pe AB în acelaşi raport, M împarte BK în raportul de aur, etc.

        Interesante sunt şi proporţiile derivate obţinute din acestea.
        Distribuirea personajelor şi a decorurilor se face după diagrama obţinută ducând toate diagonalele posibile. Aşa cum am construit diagonalele din F, tot aşa se duc şi celelalte diagonale.    

    Metoda este foarte veche, dar cel care a făcut-o cunoscută, mai ales datorită răspâdirii tiparului în Quatrocento, a fost Fra Luca Pacioli (1447-1517).
    Educaţia şi-a format-o frecventând şcoli comerciale, dar şi-a desăvârşit-o ca profesor al fiilor nobililor din Veneţia. A devenit călugăr franciscan şi în această calitate a scris un manual cuprinzător de matematică pentru elevii săi. În 1497 a acceptat invitaţia ducelui Ludovico Sforza, marele umanist şi iubitor al artei, de a lucra la Milano. Acolo l-a cunoscut pe Leonardo da Vinci, de care l-a legat o strânsă prietenie.
    Cum spuneam, răspândirea tiparului a făcut ca lucrările sale să fie cunoscutre în epocă şi să dăinuie.
     Tractatus mathematicus ad discipulos perusinos, este un manual de aproape 600 de pagini dedicat elevilor săi de la universitatea din Perugia unde a fost magister. Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalitá este o sinteză a cunoştinţelor de matematică din timpul său. Este celebră prin aceea că pentru prima dată face o descriere a sistemului de contabilitate în partidă dublă, stabilind principiile care se aplică şi astăzi în contabilitate. Îi aparţine     superbul citat "Achitarea datoriilor păstrază prieteniile".

     Dar cea mai importantă lucrare, cea pentru care este recunoscut ca o personalitate a culturii mondiale, este De divina proportione, scrisă la Milano în 1509. S-au păstrat două exemplare, unul la Biblioteca "Ambrosiana" din Milano, celălalt la biblioteca Publică şi Universitară din Geneva. Subiectul este evident proporţia de aur şi implicaţiile sale, aplicaţiile în artă (pictură şi arhitectură). Conţine de asemenea şi descrierea celor cinci poliedre regulate. Cartea este ilustrată de Leonardo da Vinci, şi poate acest lucru i-a sporit celebritatea. Este drept că istorici de artă, începând cu Giorgio Vasari (în 1550) şi până la Charles Bouleau (în 1963), îl acuză chiar de plagiat, spunând că atât Summa… cât şi De divina proportione ar fi traduceri italiene ale lui Piero della Francesca , al cărui elev a fost.
    Un celebru tablou, îl înfăţişează pe călugărul Fra Luca Pacioli în faţa unei mese încărcate cu instrumente geometrice, cretă, busolă, un dodecaedru. Atîrnat de tavan este un rhombicuboctaedru (un solid cu 24 de vîrfuri şi mărginit de 8 feţe triunghiuri isoscele şi 18 pătrate) umplut pe jumătate cu apă, presupus simbol al palatului ducal din Urbino. Pe o tăbliţă de ardezie Pacioli demonstrează o teoremă de-a lui Euclid, iar cartea deschisă de pe masă ar fi chiar Summa… Tabloul a fost creat în jurul anului 1500 şi i-a fost atribuit lui Jacopo de Barbari, deşi unii istori îi contestă paternitatea, spunând că n-ar fi exclus ca acest tablou să-i aparţină chiar lui Leonardo.

2/07/2012

Consonanţe muzicale 2.


    consonanţe muzicale 2

"Arta este o algebră voalată", Emile A. Bourdelle
    Un alt mare teoretician din Quatrocento a fost fără îndoială Piero della Francesca. S-a născut probabil în 1420 şi a murit în 1492, ultimii douăzeci de ani fiind orb. Provenea dintr-o familie înstărită, dar şi-a făcut ucenicia în atelierele unor pictori renumiţi. A călătorit mult, primind comenzi pentru picturile diferitelor catedrale din Italia.
    Şi-a dobândit din timpul vieţii atât renumele de pictor cât şi cel de matematician, postură în care l-a avut elev pe Luca Pacioli. Geometru desăvârşit, el a văzut în geometrie posibilitatea de a aplica probleme ale perspectivei şi ale exprimării volumelor. Este un maestru al perspectivei, în tablourile sale remarcându-se contrastul dintre figurile centrale şi peisajul îndepărtat, de multe ori pierdut în ceaţă.
    Lucrările de matematică, De prospectiva pingendi (Despre perspectuvă în pictură), Libellus de quinque corporis regularibus (Despre cele cinci corpuri regulate) şi un manual de calcul, De abaco, au fost scrise la o vârstă foarte înaintată, orb fiind, dar sunt însoţite de diagrame admirabil desenate. Poate că la bătâneţe şi-a pus în ordine studiile pe care le-a adunat de-a lungul vieţii, ori s-a folosit de un discipol, poate chiar de Luca Pacioli.
    Se presupune că De divina proportione a acestuia şi-ar avea de fapt originile în lucrările lui Piero della Francesca.
    Adept al lui Alberti în realizarea compoziţiilor, el a creat o serie de tablouri care se încadrează perfect în regulile stabilite de acesta.
    Pala Montefeltro (Feciara şi Pruncul înconjuraţi de sfinţi), aflat în muzeul Brera din Milano, ulei pe lemn, 248X170cm, o dovedeşte. (Muzeul a fost înfiinţat de Napoleon şi adăposteşte aproximativ 600 de opere de artă, multe dintre ele "adunate" de soldaţii împăratului în timpul campaniei din Italia)
    
    Acest tablou este împărţit în două pe înălţime şi lungime şi este o compoziţie a raportului 2/3.
    Personajele sunt verticale (cu excepţia Pruncului) şi imobile şi se înscriu perfect într-un cerc. Banda neagră orizontală este cea care delimitează înălţimea în raportul dat. Cele două cercuri ale bolţii sunt tangente pe creştetul Fecioarei, iar cercul în care se înscriu personajele le întretaie pe cele superioare aprosimativ le banda despărţitoare. În cerc se înscriu două hexagoane regulate iar prelugirile a două dintre laturile unuia determină înălţimea bolţii.
    
       Este o compoziţie bazată pe "corpurile regulate" şi pe numerele mici, 2 şi 3. Lăţimea este 2/3 din înălţime, raport sugerat şi de bolta ale cărei chesoane sunt 6 într-un sens şi 9 în altul (6/9 =2/3), axul median vertical, subliniat de firul misterios care susţine un ou, este axul Fecioarei, şi deasupra capului ei converg toate liniile perspectivei. Razele celor două cercuri sunt în raportul 2/3, apotema oricărui hexagon este egală cu bastonul personajului din stânga.
    
    Cea mai convingătoare lucrare care atestă impactul deosebit al consonanţelor muzicale este Şcoala din Atena a lui Rafael. Tabloul reprezintă pleiada filozofilor greci. În centru Platon şi Aristotel aflaţi într-o dispută filozofică, Platon cu degetul îndreptat spre cer – sugerând teoria sa despre lumea ideilor, iar Aristotel indicând pământul, conform viziunii sale raţionaliste asupra lumii. Filozoful cinic Diogene, care trăia din cerşit, stă tolănit pe treptele de marmură, indiferent la forfota din jur, citind o pagină. Mai sunt prezenţi Socrate, Platon dar şi personaje din alte epoci, întregind alegoria compoziţiei.
    
    Descoperirea legăturilor între muzică şi aritmetică îi aparţine lui Pitagora, discipolii săi fiind convinşi că această revelaţie i-a dat puteri miraculoase de vindecare prin muzică, de "armonizare" a trupului cu sufletul. La acest fapt face referire Rafael în tablou. Pitagora, matematicianul de geniu, face nişte calcule, notând ceea ce îi prezintă pe un panou, un discipol. Pe acest panou se află chiar diagrama consonanţelor muzicale indicate în greceşte: ton, diatesaron, diapentă, diapason. Ele sunt exprimate cât se poate de clar de următoarele rapoarte: diatesaron 6/8, şi 9/12, diapentă 6/9 şi 8/12, diapason sau octavă 6/12. De fapt însăşi fresca este compusă pe diatesaron, respectiv pe raportul 3/4.
        Leonardo da Vinci este artistul cel mai misterios şi cel mai savant al tuturor timpurilor. Avînd pasiunea muzicii, el vorbeşte cu multă subtilitate despre raporturile existente între arta sunetelor şi pictură.

    Cina cea de taină, singura compoziţie monumentală care a rămas de la marele maestru, se găseşte în fosta sală de mese a mânăstirii Santa Maria delle Grazzie din Milano. Într-adevăr măreaţă ca dimensiuni, 460 X 880 cm, a fost realizată în tempera pe ipsos dar a fost supusă numeroaselor încercări ale vremii. Şi probabil atât caliatea materialelor, cât şi lucrările de refacere a clădirii de către călugării dominicani, dar mai ales faptul că în timpul campaniei lui Napoleon, o trupă de soldaţi încartiruiţi acolo se distrau trăgând la ţintă în chipurile sfinţilor (şi doar Napoleon era un iubitor al artei!), sau bombardamentele din al doilea război mondial, au dus la deteriorarea ei.
    Tabloul urmeză o schemă simplă: diapasonul dublu pătrat. Întrucât compoziţia este centrată pe Isus, traseul comportă un pătrat central între două jumătăţi de pătrat. În pătratul central se înscie un mic pătrat, a cărui latură corespunde înălţimii panourilor laterale. În dreapta şi în stânga pătratul este mărginit de ferestre, iar jos de suprafaţa mese. Dacă se trasează cercul ce se creează deasupra deschiderii centrale, el va forma o mare aureolă în jurul capului lui Hristos. Diagonalele dreptunghiului dau perspectiva panourilor laterale, perspectivă care ne conduce privirea spre Isus.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2/05/2012

Consonanţele muzicale şi pictura (1)


        

    Lăsând la o parte, în realizarea unui tablou sau a unei structuri arhitecturale, problemele tehnice (materiale, culori, conducerea lucrărilor) ne oprim asupra stabilirii structurii geometrice a spaţiului sau a imaginii pe care urmează să o vedem.
    În primul rînd este vorba despre formatul cadrului: determinarea caracterului convenţional sau neconvenţional al cadrului (dreptunghi sau altă formă geometrică).
Aceasta presupune, ca primă metodă, stabilirea unor structuri modulare: trasarea unor segmente de dreaptă pornind de la axele de simetrie ale dreptunghiului cadru şi de la diagonalele acestuia prin împărţirea fiecărei laturi a dreptunghiului în 16 segmente congruente.
    A doua metodă este cea a consonanţelor muzicale, asupra cărora mă voi opri astăzi. Urmează metoda secţiunii de aur, apoi dreptunghiul armonic şi armătura dreptunghiului. Este vorba despre clasificări şi clarificări făcute de Charles Bouleau, în "Geometria secretă a pictorilor"

     Generaţia artiştilor plastici care au trăit la Florenţa sau în nordul Italiei la mijlocul secolului al XV-lea, cei care au fost primii artişti ai Renaşterii, au determinat epoca umanismului. Unii dintre aceşti artişti, spirite superioare, entuziaste, incapabili să păstreze doar pentru ei propriile descoperiri, şi-au expus părerile în cărţi care au avut o influenţă deosebită asupra contemporanilor şi nu numai. Aşa au fost Alberti, Serlio, Palladio, Piero della Francesca.
     În cărţile lor se găsesc cu preponderenţă chestiuni de matematică. În acea perioadă întreaga cercetare se făcea "cu vârful compasului". Aceasta permitea folosirea curentă a cantităţilor incomensurabile şi în special a proporţiei de aur. Umaniştii i-au studiat pe Pitagora sau Platon, pe Euclid, Vituviu sau Ptolemeu.
    Leon Battista Alberti (1404-1472) a fost arhitect şi umanist italian. Fiu nelegitim al unui bogat comerciant florentin, a primit o educaţie aleasă, a studiat dreptul la Universitatea din Bologna, dar a studiat şi muzica, însă fără un profesor, dar şi aşa compoziţiile sale au fost apreciate de cunoscători. Acest lucru însă a fost esenţial pentru a stabili consonanţe muzicale aplicabile în pictură şi arhitectură. A cochetat şi cu literatura, după ce a studiat operele anticilor şi a fost de părere că "un om dedicat studiului şi muncii poate atinge gloria la fel de bine ca un om bogat şi norocos". A fost unul din cei mai de seamă teoreticieni ai arhitecturii şi artei renascentiste, opera de căpătâi fiind Della pittura (1435). Părerea sa este că artistul trebuie să imite natura în mod obiectiv, dar să fie atenţi la frumuseţe " frumuseţea este armonie a tuturor componentelor"
    Alberti are o interpretare inedită asupra frumosului în arta plastică şi mai ales în arhitectură: intervalele muzicale plăcute auzului, octava, cvinta şi cvarta care corespund diviziunii unei coarde în două, trei sau patru (1/2, 2/3, 3/4) servesc drept bază în stabilirea rapoartelor în care sunt împărţite suprafeţele unui tablou sau ale unei construcţii. "De toate aceste numere arhitecţii se folosesc foarte comod, ba câteodată chiar le dublează, atunci când este vorba de a aranja pieţele oraşelor şi suprafeţele neacoperite".
    Consonanţele muzicale sunt determinate conform rapoartelor 1/2 (dublu sau diapason), 2/3 (sesquialter sau diapentă), 3/4 (sesquiterţă sau diatesaron) şi au fost perfect însuşite de artiştii Renaşterii, mai ales că ei erau în consonanţă perfectă cu ce spunea Alberti: "Dat fiind că numerele despre care este vorba determină plăcuta concordanţă a sunetelor şi a vocilor, tot ele sunt acelea care determină mintea şi ochii să se umple de o plăcere minunată". De asemenea, sunt frecvent utilizate o serie de scheme derivate, cum sunt diatesaronul dublu (9/12/16), diapason diapentă (1/3(3/6/9)) şi diapason diatesaron (3/8(3/6/8)).

    Toate măsurile care intervin sunt determinate de numere naturale, cu multiplii sau submultiplii lor bine determinaţi. Frumosul rezidă în raportul primelor numere întregi, raporturi simple, uşor de citit dintr-o privire şi întotdeauna măsurabile. Mai mult, Alberti recomanddă arhitectului sau pictorului să rămână credincios unui raport pentru toată lucrarea.
        Aşa de exemplu, Alessandro Botticelli a folosit chiar raporturile pe care Alberti le dădea ca exemple. Pentru Primăvara el a ales dubla diapentă, 4/6/9, adaptându-şi în aşa fel compoziţia la aceasta, încât fiecare diviziune a tabloului comportă tot atâtea personaje câte unităţi are.


    
          Primăvara, Alessandro Botticelli, 1482, Galleria degli Uffizi, Florenţa (203/314cm), ulei pe pânză.
    Cele nouă personaje - zeiţa Venus (figura centrală), Primăvara care împrăştie flori, lângă ea Flora şi Zefirul, la stânga cele trei graţii şi zeul Mercur, iar deasupra Cupidon, crează impresia unei scene de teatru, foarte la modă în epoca Renaşterii.
        În afară de compoziţie ori de simbolismul său Primăvara lui Botticelli, se remarcă printr-o simetrie care este doar aparentă. Venus, figura principală este plasată într-o nişă de frunziş, nu este situată chiar în centru. De o parte şi de alta însă, se află patru personaje, respectiv trei. Această grădină a spiritului evocă paradisul şi delicatel zeiţe dansează parcă în sunetul muzicii numerelor. Aceasta deoarece opera este construită pe dublă diapentă. Nişa se înscrie între cele două cezuri, 4 şi 6. (Cezura, un termen împrumutat din poetică, semnificând o pauză înăuntru unui vers pe care-l împarte de obicei în părţi egale pentru susţinerea cadenţei) de o parte patru unităţi şi patru personaje, de cealaltă parte trei unităţi şi trei personaje (micul amoraş plasat în partea superioară a tabloului ne aminzeşte că în mijloc există două unităţi)

2/04/2012

SPIRALA LUI FIBONACCI



Este timpul să privim şi din alt unghi şirul lui Fibonacci. Cunoaştem formula de recurenţă
şi ecuaţia sa caracteristică
care are soluţiile
 soluţia pozitivă fiind numărul de aur

   Notăm  cu

   laturile unui dreptunghi şi construim în exterior un pătrat cu latura egală cu lăţimea, iar în dreptunghiul rămas reluăm de o infinitate de ori procedeul. Mai construim şi arcele cu centrul în vârful câte unui pătrat şi care trec prin alte două vârfuri. Ceea ce obţinem se numeşte spirala lui Fibonacci. Laturile fiecărui dreptunghi sunt în tăietură de aur. Fiecare pătrat extras - de exemplu de latură

face să rămână un dreptunghi de laturi

       Iată o altă explicaţie a constucţiei spiralei:

    - pornim de la dreptunghiul A0B0B1B2, cu laturile în tăietură de aur;
    - construim pătratul A0B0A1C;
    - diagonala B0B2 intersectează pe A1C în D;
    - construim pătratul A1DA2B1, A2 fiind evident pe B1B2;
    - diagonala CB1 taie latura DA2 în B3;
    - construim pătratul B3A2B2A3, şamd;
    - construim acum arcele A0A1, A1A2, A2A3, şamd.
    Ştim de ce este numită în continuare "spirala lui Fibonacci", dar dovezile despre această spirală nu apar neaparat din raţiuni matematice.
    Universul însuşi, sau poziţia fătului în uter, diferite conexiuni între dimensiuni ale lanţului ADN, sau raportul dintre presiunea sistolică a sângelui şi cea diastolică (apropiat de 1,618), plante sau animale, valurile mării, tornadele.
    Vi se pare un mister, nelămurit de generaţii? Nu este doar o coincidenţă cosmică şi nici un standard impus al frumuseţii şi armoniei, ci aşa cum s-a spus "semnătura lui Dumnezeu în creaţie"!