1/29/2012

Numerele Fibonacci


    Leonardo Pisano Fibonacci s-a născut în Italia, la Pisa, probabil în 1170, dar a crescut în nordul Africii la Bugia (astăzi, Bejaia) pe ţărmul mediteranean al Algeriei, unde tatăl său a fost reprezentant comercial al Republicii Pisa. Acesta şi-a dat seamă că fiul său are reale capacităţi intelectuale şi l-a înscris la şcoala comercială. Chiar în timp ce-şi desăvârşea studiile, a avut posibilitatea să lucreze lângă tatăl său la verificarea registrelor economice ale comercianţilor, şi acăpătat şi o bogată experienţă. Mai mult, cum ştim că arabii foloseau sistemul de calcul cu cifrele arabe, Fibonacci a fost impresionat de utilizarea acestora de către comercianţii din Orientul Mijlociu. Pentru a înţelege mai bine sistemul a călătorit în aproape toate ţările mediteraneene.
    Şi-a încheiat călătoriile în jurul anului 1200 şi s-a întors la Pisa unde a scris câteva cărţi care au jucat un rol deosebit în revigorarea matematicii antice după care se studia pe atunci. S-au păstrat puţine copii ale cărţilor scrise de al, având în vedere că nu apăruse încă tiparul, aşa că singura posibilitate de a le face să circule era să fie copiate de mână, ceea ce era destul de dificil. La biblioteca naţională din Florenţa există copii ale cîtorva din lucrările sale : Liber abaci (1202), GeometriePractica (1220) Flos (1225) şi Quadratorum Liber. Ştim că a mai scris, de exemplu, un comenratiu la Elementele lui Euclid, dar din păcate, acesta s-a pierdut. Este celebră susţinerea de care s-a bucurat din partea lui Frederic al II-lea al Germaniei. Savanţii curţii imperiale corespondau cu Fibonacci, şi l-a sfatul acestora, împăratul l-a şi vizitat în 1225. Era o modă a timpului, ca savanţilor să le fie expuse diferite probleme dificile pe care aceştia să le rezolve. Astfel, Fibonacci a fost solicitat să rezolve următoarea problemă: care este numărul al cărui pătrat mărit sau micşorat cu 5 rămâne tot un pătrat. Nu au rămas indicii despre felul în care a raţionat Fibonacci, dar a dat soluţia (atenţie, nu este obligatoriu vorba despre numere naturale) :
        În 1228 "seriosul şi învăţatul Leonardo Bigallo" (comerciantul, supranumele moştenit de la tatăl său) primeşte o recompensă din partea Republicii din Pisa, sub forma unui salariu, drept recunoştinţă pentru serviciile aduse oraşului, sfaturile despre contabilitate şi învăţăturile date oamenilor din oraş.
    Liber abaci, scrisă după ce s-a întors în Italia, cuprinde cunoştinţele pe care le-a acumulat în călătoriile sale, şi a introdus pentru prima dată în Europa cifrele indo-arabe. Dar în partea a treia a cărţii el dă celebra problemă a reproducerii iepurilor, problemă care a condus la şirul care-i poartă numele: şirul lui Fibonacci. "Un om a adus într-o curte închisă o pereche de iepuri. Ştiind că după o lună de la naştere fiecare pereche are câte un alt pui, câte perechi sunt după un an de zile ?"

    Să notăm numărul de perechi de pui din cea de n-a lună cu f(n). Atunci în luna f(n+1) vor fi cei f(n) din luna precedentă şi încă cei nou născuţi. Cum iepurii se nasc din perechi de iepuri mai mari de o lună, cei nou născuţi vor fi f(n-1). 

     Lăsând la o parte faptul că problema pare o poveste ireală sau chiar naivă, vom vedea că de fapt este vorba despre un şir cu multe exemplificări din natură, fapt pentru care s-a numit, şirul creşterilor organice, dar implicaţiile sale în artă sau arhitectură sunt covârşitoare.
    Şirul de numere obţinut  1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …. Poartă numele de şirul lui Fibonacci, şi orice alte şiruri în care un termen este suma celor doi precedenţi, este de acelaşi tip.
    S-au scris mii de pagini despre acest şir, care realmente au încântat şi fascinează încă. Şi cum nu, când se vede că şirul rapoartelor a doi termeni consecutivi  este convergent la numărul de aur
 
       Sau, altfel spus ecuaţia caracteristică a formulei de recurenţă de mai sus, este ecuaţia

,
cu soluţiile , 

astfel că termenul general al şirului poate fi scris 

    Alte câteva proprietăţi:
             Evident, acestea nu sunt singurele proprietăţi. Există o sumedenie de relaţii între termenii şirului, între limita sa şi numărul pi, între numărul de aur şi logaritmul său natural, între numărul de aur şi valorile funcţiilor trigonometrice ale unghiului de 72 de grade (unghiul la centru al pentagonului regulat).
              Iată de exemplu şi o legătură între numerele lui Fibonacci şi triunghiul lui Pascal:


 
    

 

 

 

 

1/27/2012

NUMĂRUL DE AUR – 2. PENTAGONUL REGULAT



    Toată lumea ştie de pentagramă, simbol fie păgân, asociat cu sataniştii, fie masonic, fie în astrologia diletanţilor.
    Pentagrama este de fapt doar un pentagon regulat stelat, însă construcţia ei geometrică a suscitat un interes deosebit.
    Originea ei se pierde în timp. De exemplu în mileniul III î. Hr, vestigiile cuneiforme o descriu ca un fel de "busolă" care indica poziţia planetelor Jupiter, Mercur, Marte, Saturn şi Venus. În Sumer, în oraşul stat Ur, era un simbol al puterii imperiale.
    Dar recunoaşterea cea mai importantă a venit din partea pitagoricienilor care au adoptat pentagrama ca pe un simbol al membrilor şcolii lor. Cele cinci litere aşezate în vîrfurile pentagramei – U, G, I, E, I, reprezentau iniţialele pentru apă (hudor – în greaca veche), pământ (gaia), sufletul (ideea), lumină (heile- soare) şi aer (aeras).
    Iar simbolul masonic era de fapt la origine, un pentagon regulat, o figură geometrică a cărei construcţie cu rigla negradată şi compasul nu este imediată, dar era absolut necesară pentru elemente de construcţii de mare rigoare şi rafinament.
    Construcţia pentagonului regulat presupune construcţia exactă a unui număr iraţional, numărul de aur.
    Este foarte adevărat că îndemânarea şi experienţa te ajută şă desenezi "din ochi" o stea. Un soldat american povestea că era invidiat pentru talentul de a desena pe corpul avioanelor de luptă din Vietnam, "stele" fără a avea vreun şablon.
    Mă opresc doar la construcţia riguroasă a pentagonului regulat. Două dintre desene prezintă suportul geometric al construcţiei, de tip origami, a unui pentagon regulat cu vârfurile pe laturile unui pătrat.



 

 
                

1/25/2012

Numărul de aur – 1. poligoane de aur




    Noţiuni atât de tentant denumite ca număr de aur, tăietură de aur, secţiune de aur, dreptunghi de aur, proporţie divină, au fost folosite de veacuri. Însăşi Euclid defineşte raportul ca fiind "relaţia calitativă în ceea ce priveşte dimensiunea dintre două mărimi omogene, iar proporţia (analogia) reprezintă echivalenţa a două rapoarte ". Ceea ce, algebric înseamnă 
              
Dacă b=c,  proporţia se numeşte "continuă" sau b este medie proporţională (geometrică) între a şi d, iar dacă, c=a+b, obţinem 
 


proporţia cunoscută sub numele de secţiune de aur. Această proporţie a fost botezată proporţie divină de către călugărul bolognez Fra Luca Pacioli di Borgo, care i-a consacrat în 1509 un tratat ilustrat de către amicul său Leonardo da Vinci, dar impresionase şi stârnise curiozităţi încă din antichitate (constructorii piramidelor egiptene, Pitagora, Vitruvius)
              Pentru ca un întreg împărţit în două părţi inegale să pară frumos, trebuie ca între partea mai mică şi cea mai mare să existe acelaşi raport ca între partea mare şi întreg. Să presupunem că întregul este un segment AB. Se spune că punctul C ales astfel încât
,
 împarte segmentul AB în medie şi extremă raţie (denumire dată de Euclid) , sau în tăietură de aur.

Egalitatea de mai sus înseamnă
 ,
cu soluţia pozitivă
           Acest număr este celebrul număr de aur, notat cu litera grecească phi , după iniţiala numelui sculptorului grec, Phidias. Inversul valorii absolute a soluţiei negative este
               Valoarea sa aproximativă este 1,618…
           Dreptunghiul de aur este dreptunghiul ale cărui laturi se află în acela şi raport. Dintre mai multe dreptunghiuri, cel mai "frumos" este acela ale cărui laturi se află în acest raport (aşa cum cred majoritatea oamenilor, nu vorbim de excentricităţi, ci de majoritate).
    
           Evident, este vorba despre primul dreptunghi.
          Construcţia sa corectă, (este imposibil de "măsurat" rădăcina pătrată din 5, numărul iraţional 2,2360679….), corectă însemnând doar cu linia negradată şi compasul, este următoarea :
            Se consideră un segment de lungime AB = a, în B construim o perpendiculară pe segmentul dat pe care luăm BC de lungime egală cu jumătatea lui AB. Construim arcul de cerc cu centrul în C şi de rază AC, care va tăia perpendiculara în D. Atunci
Iar dreptunghiul cu laturile AB şi BD, este dreptunghiul de aur

        Rombul de aur este rombul ale cărei diagonale se află în acest raport.
        Pentagonul de aur este pentagonul regulat care are raportul dintre diagonală şi latură în raportul de aur
Mai mult, o diagonală, să spunem IG, este împărţită de alta, fie ea HF, în secţiune de aur,
          Asupra pentagonuli voi reveni.
           Triunghiul de aur este triunghiul isoscel cu înălţimea relativă la bază egală cu lungimea bazei (întâlnit la Marea Piramidă).
Alte caracterizări :
    - linia mijlocie a unui triunghi echilateral înscris într-un cerc, determină o tăietură de aur :


             - Un pătrat de arie maximă înscris într-un semicerc determină pe diametru aceeaşi secţiune de aur.
     Mai întâi se poate afla că pătratul de arie maximă înscris într-un semicerc de rază R, are latura 
şi în aceste condiţii avem 
 
    



    

1/23/2012

7. LE CORBUSIER






    "Là où nait l'ordre, naît le bien-être"
    
    În arhitectura oraşelor moderne, importante sunt modificările determinate de revoluţia industrială, schimbând total aspectul infrastructurilor. Apariţia automobilului şi folosirea lui pe o scară din ce în ce mai largă, necesitatea comunicării cât mai rapide, transportul materiilor şi materialelor, au dus la lărgirea străzilor, croirea marilor bulevarde, alocarea de spaţii semnificative pentru parcări. Iar exodul masiv dinspre rural a necesitat construcţia de locuinţe, extinderea periferiilor, chiar cu riscul sacrificării spaţiilor verzi, şi în foarte multe cazuri transformarea vechilor centre ale burgurilor în centre politice şi financiare.
    Le Corbusier în 1924 spunea: "Ascensiunea spre geometrie datorită inventării betonului armat care ne pune la dispoziţie mecanismul ortogonal cel mai pur. Suntem în posesia unui procedeu ortogonal pe care nici o epocă nu l-a mai avut, a unui procedeu care ne va permite să ne folosim de geometrie ca de un element capital al arhitecturii….     Omul nu lucrează decât pe baza geometriei. Şinele (de cale ferată) sânt de un paralelism absolut, taluzele reprezintă realizarea epurelor geometrice; podurile, viaductele, ecluzele, canalele, toată această creaţie urbană şi suburbană care se dezvoltă, arată că atunci când omul acţionează şi vrea să facă act de voinţă el devine, prin forţa lucrurilor, un geometru şi creează pe baza geometriei. Prezenţa sa se exprimă prin aceea că, într-un peisaj, care este un fapt al naturii, prezentându-se sub un aspect accidental, munca umană nu există decât sub formă de drepte, de verticale, de orizontale etc. Astfel se trasează oraşele şi se construiesc casele, sub imperiul unghiului drept."
    Astfel încât el a identificat destule metode de determinare, pe un desen dat, a dreptelor perpendiculare – căruia , de fapt, i-a şi dedicat Le poem de l'angle droit.
    Se porneşte de la dreptunghiul ABCD, pe a cărui diagonală AC, se ridică în C o perpendiculară care taie prelungirea lui AB în H. Paralela dusă din B la CH determină pe DC punctul E. Dreptunghiurile BCEF şi ABCD au laturile proporţionale (din asemănarea triunghiurilor COB şi DAC. Diagonala BE taie pe AC în O, şi acesta este "locul unde se plasează unghiului drept". Putem repeta procedura pornind de la orice punc N situat pe AB. Se remarcă acest lucru pe schiţele clădirilor proiectate de el.

                                          Schiţa faţadei unei case de tip C1 de la Sttutgard.
           De altfel, Le Corbusier, poate cel mai mare arhitect al veacurilora studiat matematica despre care spunea că: "Mathematics is the majestic structure conceived by man to grant comprehension of the Universe". Dar profesorul Mircea Ocheniciuc, de la Institul de Arhitectură "Ion Mincu" din Bucureşti, spunea: "Le Corbusier nu trebuie considerat doar un arhitect; i-am micşora dimensiunea reală. Aşa cum nu putem vorbi despre renaştere fără Leonardo, nici despre modernism fără le Corbisier. El a impus poziţia arhitectului ca intelectual militant, coautor al lumii noi (l'esprit nouveau)".
    Pe drept cuvânt a fost considerat şi pictor, sculptor, decorator, urbanist, teoretician şi scriitor, putând fi considerat chiar poet, după modul în care a înţeles armonia desenelor geometrice.
http://www.youtube.com/watch?v=SLtj0UIHYFQ  (Le poeme de l'angle droit)
              Pentru a înţelege perfect proporţiile, armonia şi echilibrul care sunt stabilite între natură şi om, în afară de unghiul drept, el i-a studiat în profunzime lucrările lui Vitruviu, ale lui Leonardo da Vinci şi ale lui Alberti, şi îndeosebi secţíunea de aur, spirala logaritmică, pentagonul. Interesant este că iniţial Le Corbusier era împotriva utilizării numărului de aur, dar citind-ul pe Matila Ghycka, Esthétique des proportions dans la nature et dans les arts, el şi-a schimbat opţiunea, devenind un înfocat susţinător al acestuia. (Matila Ghycka, 1881-1965, romancier, matematician, istoric, filozof iar între 1910 şi 1940 diplomat român, stabilit după al doilea război mondial, în SUA ca profesor de estetică. Prieten cu Paul Valéry şi Marcel Proust.)
            Ca variantă a cubismului, Le Corbusier a întemeiat împreună cu prietenul său Amédée Ozenfant, purismul, un curent care cheamă la raţiune şi ordine, indicând folosirea secţiunii de aur în utilizarea explicită a formelor geometrice în pictură.
           Este cel care a stabilit principiile pentru "o arhitectură modernă" şi nu "arhitectura modernă" (importantă este articolul!), care are la bază cinci puncte: adoptarea unui sistem de puncte de sprijin (piloni) pentru degajarea spaţiilor, acoperişuri tip terasă (pot fi folosite ca grădini), ferestre "bandeau" (de preferat pe tot frontonul), faţade libere, lipsa zidurilor portante. Astfel se lasă loc pentru compoziţia spaţiilor interioare. La congresul Internaţional al Arhitecturii Moderne de la Atena din 1933 el a afirmat: "materialele urbanismului sunt lumina, lejeritatea spaţiului, vegetaţia, oţelul şi betonul armat, în această ordine şi în această ierarhie". A fost un teoretician al urbanismului modern; astfel el a creat un concept nou, unitate de locuit (unité d'habitation), soluţie pentru crearea locuinţelor pentru rezidenţii oraşelor aglomerate.
    De departe cel mai important concept lansat de Le Corbusier este noţiunea de modulor.
    Sistemul proporţionalităţii cunoscut sub numele "Modulor" şi l-a prezentat în 1948 într-o carte cu acelaşi titlu.

      Construcţia este relativ simplă:
      Se consideră pătratele cu laturile ED şi DC în prelungire şi egale. Fie triunghiul dreptunghic cu vârful în D şi catetele - diagonale în cele două pătrate. Se ia pe ED punctul H care împarte latura pătratului în raportul secţiunii de aur – 1,61. Analog punctul F situat pe CD. Paralelele prin F şi H la latura orizontală, taie catetele triunghiului considerat în A0 şi A1. Putem repeta raţionamentul de oricâte ori vrem, este suficient doar să construim drepte paralele, care vor determina pe dreapta A0A1 puncte ce formează segmente din şirul
unde  soluţia ecuaţiei
 numărul de aur, este numărul de aur, x=1,61...
         Studiile sale l-au condus la ideea că secţiunea de aur (proporţia armonică sau proporţia divină) se regăseşte în proporţiile siluetei umane şi astfel el a raportat între ele părţile succesive ale corpului (desenul de pe coperta cărţii justifică exemplar acest lucru).
       Porneşte de la faptul că, dacă un om cu braţul ridicat are 216cm, ombilicul se găseşte la 108 cm faţă de sol (şi raportul dintre înălţimea omului şi distanţa de la ombilic la tălpi  este 1,61), distanţa dintre vîrful degetelor şi creştet este 41,5cm iar distanţa de la cap la ombilic este 66,5 cm. Raportul acestor două distanţe este aproximativ 1,61. Se poate crea astfel şirul:  41,5; 66,5; 108; 174,5; 216; ... , şir de forma: a, b, a+b, a+2b, 2a+2b, 2a+3b,...
           Totodată el a folosit aceste dimensionări ale corpului uman pentru a standardiza anumite elemente de mobilier (scaune, etc) stabilind astfel principiile ergonomice atât de necesare confortului ambiental.    

6. Geometria masonilor evului mediu



    "Arta geometriei" – aşa era denumită ştiinţa construcţiilor în evul mediu, şi era apanajul exclusiv al masonilor. Aceasta însemna capacitatea de a percepe problemele de proiectare şi construcţie pe baza câtorva elemente fundamentale ale geometriei. Atât în stereoteomie cât şi în statică sau în design arhitectural, stabilirea proporţiilor şi a figurilor geometrice care urmau să fie efectiv utilizate erau esenţiale. Nu mai spunem că un secret absolut s-a instalat în această problemă, încât şi astăzi, constructorii se miră cum de cu sute de ani înainte, când nu existau tehnologiile actuale, s-a putut construi, atât de trainic, robust şi în acelaşi timp cu o estetică deosebită. Lăsăm la o parte faptul că erau cu totul dăruiţi meseriei lor, mergând chiar până la sacrificu (vezi legenda Meşterului Manole!). Cercetătorii studiază în continuare schiţele rămase în arhivele bibliotecilor marilor construcţii, încercând să găsească explicaţii ştiinţifice pentru metodele folosite în acele timpuri.
    Canoanele acestei geometrii oferă cheia arhitecturii medievale.
    Meşterul german Lorenz Lechler (~1460-1530) i-a lăsat fiului său Moritz, în 1516, "instrucţiuni" despre proporţiile care trebuie respectate în realizarea unei construcţii. De exemplu, lăţimea peretelui corului unei biserici devine unitate modulară pentru întegul edificiu, asfel că acesta este de zece ori cât lungimea peretelui exterior. Contraforturile, ferestrele şi în general toate elementele construcţiei sunt multiplii acestor unităţi modulare. Nu este singura unitate de măsură folosită (Leckler folosea şi unitatea de măsură "scuf" –pantof, reprezentând aproximativ 30cm), dar este cea mai importantă.
    La rândul său, a învăţat tainele meseriei de la tatăl său, meşter pietrar. A fost aproape 25 de ani şeful breslei constructorilor de biserici din Heidelberg.
    Iată de exemplu construcţia unui şablon pentru o ferastră a unei biserici, aşa cum a oferit-o Lechler. Se porneşte de la două pătrate egale, având acelaşi centru, astfel încât diagonalele unuia sunt paralele cu laturile celui de-al doilea, şi se adaugă apoi segmente care leagă între ele diferite puncte de intersecţie dintre diferite laturi.
    All art is matter, form and measurement (Arta este materie, formă şi măsură) Mathias Roriczer (1426-1503). Arhitect al catedralei Rosenburg, el îi dedică angajatorului său, episcopul de Eichstädt, o lucrare în care sunt explicate construcţiile sale geometrice, despre care afirmă că sunt originale şi că sunt oferite "bunului public", deşi conform regulamentelor de breaslă ale masonilor, secretele artei ar fi trebuit să fie păstrate. Şi-a protejat în acel moment opera, doar prin faptul că opera era dedicată prin episcpul său, doar masonilor.
     Se vede din figură că esenţial este construcţia unui segment şi a mijlocului său (pentru care nu era necesar decât un modul acceptat de toţi constructorii, rigla negradată, şi un compas) pentru a putea obţine figuri din ce în ce mai complexe.
    Tot el dă şi metoda practică pentru construcţia unui segment a cărui lungime este egală cu circumferinţa unui cerc, folosind evident doar instrumentele pe care le aveau în acel moment la îndemână:
    Se construiesc trei cercuri cu centre coliniare, se împarte diametrul primului cerc în 7 părţi egale, şi se ia punctul în prelungirea primului diametru, în exteriorul cercului. Atunci lungimea segmentului este egală cu lungimea cercului de diametru .

        O altă problemă era construcţia unui triunghi (practic era nevoie de înălţimea lui) cu o arie egală cu a unui pătrat dat, şi reciproc.

    Se porneşte de la triunghiul ABC, pe ipotenuză se construieşte un dreptunghi, se prelungeşte ipotenuza cu CN=CM (jumătatea lăţimii dreptunghiului) şi se construieşte semicercul cu diametrul BN. Prelungirea lui CM taie semicercul în D, iar CD este latura pătratului care are aceeaşi arie cu a triunghiului dat.
     Sau, iată cum construia un pătrat cu aria egală cu cea a unui triunghi echilateral dat. Se porneşte de la triunghiul echilateral ABC a cărui bază se împarte în trei părţi egale. O treime din latura triunghiului este jumătate din latura pătratului cerut.

  Adică el aproximează

  sau

 ceea ce pentru acele timpuri, cu acele tehnologii, nu era puţin lucru.
       Evident metodele folosite nu erau exacte dar aduceau o bună aproximare pentru numerele iraţionale care apar în calcule. Pentru constructorii din zilele noastre nu s-ar pune problema păstrării unor proporţii exacte a măsurilor.