8/25/2013

Matematica Islamului de aur, 

ABU ALI AL-HASAN IBN-AL HASAN

IBN AL- HAYTHAM


                Unul dintre cei mai cunoscuţi oameni de ştiinţă musulmani, în acelaşi timp poet al „epocii de aur” a civilizaţiei musulmane, cunoscut în mod obişnuit ca Ibn al-Haytham, sau al-Basri (după locul naşterii sale – Basra), sau şi mai cunoscut cu numele latinizat Alhazen sau Alhacen, a trăit aproximativ între 950 şi 1040.
                Este crescut în preceptele religiei musulmane, dar multiplele frământări şi lupte între facţiuni religioase îl conduc la ideea că doctrinele niciuneia nu reprezintă adevărul şi ca atare se dedică studiului matematicii, care i se pare de departe cea mai sigură cale pentru aflarea acestuia.

               


                Al Haytham a fost contemporan cu unul dintre cei mai ciudaţi califi ai Egiptului, califul al-Hakim Bi-âAmrihi, despre care se spune că a fost un psihopat şi cu toate acestea a fost pasionat de ştiinţe şi a încurajat dezvoltarea lor, fiind înconjurat într-o Casă a Înţelepciunii (de fapt în anul 970 fatimizii fondaseră, pe lângă moscheia Al Ahzar,  Universitatea Al Ahzar, una dintre cele mai vechi Universităţi din lume, astăzi Biblioteca literaturii arabe) de savanţi renumiţi. Poate doar interesul său, oarecum bolnav, pentru astrologie să fi fost cauza îndeletnicirilor sale savante. Excentricitatea sa a mers până acolo încât, deranjat lătrăturile şi miorlăiturile câinilor şi pisicilor din Cairo, a  ordonat uciderea tuturor acestora. El a fost cel care înspăimântat de tradiţiile evreieşti şi de cele creştine a ordonat distrugerea Bisericii Sfântului Mormânt din Ierusalim, precum şi a sinagogilor mai importante din oraş.  Şi-a ucis prietenii, poeţii, judecătorii de la curte, a retezat mâinile sclavelor sale. Crud şi ciudat!
                În această atmosferă sinistră, Al Haytham ajunge la Cairo, se pare invitat de calif, care chiar îl aşteptă la porţile oraşului. Aici el îşi asumă un proiect gigantesc, regularizarea apelor Nilului, prin construirea unui baraj, cam pe locul actual al barajului de la Aswan (construcţia lui fiind posibilă abia în secolul XX), intenţie lăudabilă, având în vedere revărsările anuale care erau pe de o parte o binefacere pentru culturi, dar aduceau şi pagube imense atunci când nivelul lor varia – sau inundaţii exagerate sau secete prelungite. În acest sens, împreună cu o echipă de ingineri pusă la dispoziţie de calif, face cercetări pe Nil, dar măreţia şi bogăţia bazinului hidrografic al Nilului  duc la concluzia că nu are cum să-şi ducă ideile până la capăt, tehnologiile de atunci nepermiţându-i măreaţa construcţie. Trecuse perioada construcţiilor măreţe, precum cea a piramidelor! Speriat de furia pe care i-ar arăta-o califul, al Haytham se preface a fi nebun scăpând astfel de cruzimea acestuia. Este arestat la domiciliu unde îşi petrece tot timpul (până la moartea califului) studiind pe Ptolemeu, Euclid sau Aristotel dar efectuând şi multe experimente de optică. Lucrând într-o universitate, majoritatea operelor sale au rezistat timpurilor; din cele  92 de lucrări ale sale 55 s-au păstrat. Este adevărat că pentru unele s-au păstrat traducerile în latină sau ebraică.
                De altfel optica i-a adus celebritatea, dar fără o cunoaştere profundă a matematicii nu ar fi reuşit. Mai mult, Al Haytham aduce poate cea mai importantă contribuţie la stabilirea metodelor de lucru în ştiinţă. El înţelege perfect că pentru demonstrarea riguroasă a ipotezelor teoretice  este nevoie de experimente şi testări controlate, depăşindu-l prin aceasta pe Ptolemeu, pe care îl venera. Folosirea metodei experimentale l-a făcut să fie considerat părintele metodei ştiinţifice moderne.     
                Contribuţia lui Al Haytham în optică este colosală.  În lucrarea sa de căpătâi, Kitab al-Manazir (optica) tradusă în latină – De aspectibus (lucrare studiată, la timpul său, şi de Leonardo da Vinci) , el stabileşte fundamentele opticii , despre lumină (lumina nu pleacă din ochi ci intră în ochi), culoare, refracţia luminii, dispersia luminii, mecanismul vederii – pornind de la anatomia ochiului, oglinzile sferice şi lentilele. Toate acestea, pe bază de experimente riguroase. Studiile sale l-au făcut să concluzioneze că atmosfera pămîntească ar avea aproximativ 15 kilometri (astăzi ştim că primul înveliş al Pământului, troposfera are aproximativ 12 kilometri).

                Cunoscuta Lege a lui Snell[i] (existentă în programa şcolară), nepublicată în timpul vieţii specificată mai târziu de Christian Huygens[ii], (dacă n1 şi n2 sunt indicii de refracţie pentru două medii diferite şi θ1 şi θ2 sunt unghiurile de incidenţă şi respectiv de refracţie pe care le face o rază de lumină cu perpendiculara pe limita dintre cele două medii (normala), atunci raportul indicilor este invers proporţional cu raportul sinusurilor celor două unghiuri: ), este de fapt stabilită de Al Haytham.

                Ca să nu mai vorbim de invenţia sa celebră, camera obscură, iniţial concepută pentru stabilirea diametrului aparent al Lunii şi al Soarelui

                 Dintre diferitele probleme pe care le pune Al Haytham în opera sa, una este specială, fiind pusă de greci în vechime, nerezolvată secole de-a rândul. Cunoaştem aşa numita „problemă a biliardului”, problemă în geometria plană: 

fie două puncte A şi B  de aceeaşi parte a unei drepte - două bile pe masa de biliard. În ce punct trebuie să lovească bila A marginea mesei astfel încât ea să ricoşeze în punctul (bila) B? Soluţia este simplă: fie A1 simetricul lui A faţă de mantă, iar O intersecţia dreptei A1B cu manta. Înseamnă că bila A trebuie lovită pe direcţia AO, unghirile θ1 şi θ2 sunt egale – unghiul de reflexie este egal cu unghiul de incidenţă.

                Problema celebră (pusă iniţial de Ptolemeu  - 150 d.Hr.) este însă următoarea: în loc de manta mesei de biliard este o lentilă sferică concava sau convexă iar  una dintre bile este ochiul observatorului. A fost studiată de Huygens, de Riccati[iii] sau Saladini[iv], şi a suscitat interes până de curând, când i-a fost  stabilită soluţia în 1998 de către dr. Peter Neumann de la Queens’s College, Oxford. Iată că o problemă veche de matematică poate fi actuală!

                O altă problemă celebră a matematicii a fost studiată de Al - Haytham: cuadratura cercului. Astăzi ştim că ar fi posibil construirea unui pătrat cu aceeaşi arie cu a unui cerc dat doar dacă ar fi posibilă construcţia exactă a numărului iraţional π. Se pare că însăşi Al Haytham a ajuns la concluzia că acest lucru este imposibil, dar a găsit o bună aproximare, stabilind că aria celor două lunule din figura următoare este aceeaşi arie cu cea a triunghiului dreptunghic. Dacă triunghiul este în plus isoscel, de două ori aria lunulelor este egală cu aria pătratului.




                Și aritmetica i-a adus celebritatea. Iată o probemă de congruențe pusă de Al-Haytham: să se găsescă numărul care împărțit pe rând la 2, 3, 4, 5, 6 și 7 dă mereu restul 1. Matematicianul dă soluția pentru toate tipurile de probleme de acest fel: înmulțește numerele 2, 3, 4, 5, 6, 7 și adaugă o unitate rezultatului. Este ceea ce se cheamă,
conform teoremei lui Wilson[v]   , care are următorul enunț:
dacă p este număr natural,
 atunci următoarele afirmații sunt echivalente:            
-          p este număr prim, și
-      
   
O altă contribuție se referă la numerele perfecte, prelulând rezultatul lui Euclid:
 ”primele patru numere perfecte sunt de forma:

 Un număr perfect este acel număr care este egal cu suma divizorilor săi mai puțin el însăși. De exemplu: 
etc.
În onoarea sa un crater de pe Lună îi poartă numele, tot așa și clinica de Oftalmologie de la Universitatea Aga Khan din Pakistan.
               




[i] Willebrord Snell (1580-1629), astronom şi matematician german.
[ii] Christian Huygens (1628-1695), matematician, fizician, astronom şi filozof german.
[iii] Vicenzo Riccati (1707-1775), matematician italian.
[iv] Girolamo Saladini (1731-1813), matematician italian.
[v] John Wilson (1741 – 1793), matematician englez.

4/06/2013

MATEMATICA ISLAMULUI DE AUR, AL KARAJI



7.AL KARAJI (953-1029)

Numele său întreg este Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husazn Al- Karaji  dar nu se poate presupune cu exactitate că familia lui provine din oraşul Karaj, din Iran - aşa cum ar indica numele, sau din Karkh, o suburbie a Bagdadului, mai ales că era cunoscut şi ca Al Kahri. Oricum, cea mai mare parte a vieţii a trăit în Bagdad, unde a şi scris cea mai importantă lucrare a sa Al-Fakri, dedicată vizirului Fakr-Mulk. Şi-a făcut un scop din a culege şi de a restructura opera înaintaşilor, aşa cum era preocuparea de bază a savanţilor timpului, dar a adus şi contribuţii importante în matematică. A eliberat algebra de operaţiunile geometrice, folosind operaţiile algebrice care stau la baza algebrei de astăzi.
Astfel, el a fost primul care a definit monoamele

 şi a dat regula produsului
.

 Fără a specifica numerele negative, şi fără a folosi că
,
  a spus că relaţia era valabilă şi a dat o regulă de găsire a rădăcinii pătrate a multor numere.



Cea mai importantă contribuţie o are însă, prin lucrarea Al kafi fi’l al- Hisab în deducerea coeficienţilor binomial şi la stabilirea relaţiilor între aceştia. Orice număr de pe o coloană este egal cu suma celor doi alăturaţi de pe coloana precedentă (aşa cum cunoaştem din actualul „triunghi al lui Pascal”).



Mai mult, el a stabilit, în limbajul de astăzi, că suma primelor numere naturale este
,

 a calculat suma pătratelor primelor numere naturale ca fiind
,

 precum şi suma cuburilor
.


Pornind de la observaţia că 
,

 care mai este şi
,

 de fapt el a stabilit forma incipientă a principiului inducţiei matematice.
Formula din figura următoare reprezintă această formulă (atenţie: se citeşte de la dreapta spre stânga, precum în orice text arab), şi sunt folosite cifrele arabe[1].




  
Mai mult, Al Karaji foloseşte construcţii geometrice pentru a demonstra formulele sumelor. Aşa de exemplu pentru a demonstra că:

    el exemplică prin  exprimarea lui

 astfel:




Suma ariilor pătratelor de laturi 1,2,3 şi 4 este egală cu aria pătratului mare din figură este mai puţin de câte două ori ariile dreptunghiurilor de laturi 1şi respectiv 2,3 şi 4, apoi cele cu laturile  2 şi respectiv 3, şi 4 şi cele cu laturile 3 şi 4.

A fost influenţat de lucrările lui Diofant (sec III î.Hr.) recunoscând că mai toate problemele din cartea acestuia se găsesc în cartea sa, Al Badi fil-hisab,  dar a inclus şi multe probleme originale. De altfel Al-Karaji era supranumit „calculatorul” pentru uşurinţa cu care opera cu multe operaţii şi numere mari.
Se pare că în partea a doua a vieţii sale, Al Karaji a părăsit Bagdadul şi s-a retras în „ţara munţilor” – regiunea muntoasă a ţării, unde s-a dedicat ingineriei. Este celebru prin teoriile despre forări, aprovizionare cu apă a localităţilor, metode de irigaţie.
Popularea rapidă a oraşelor Bagdad, Cairo, Cordoba, Féz, tocmai făcuse necesară găsirea surselor de apă, rafinarea tehnicii de irigare şi optimizarea utilizării apei.


Fiind o problemă incitantă pentru spiritul său inventiv, şi susţinut de şeicul Abu Ghanin Ma’ruf Muhammad, s-a preocupat de această problemă. A scris Inbat-miyah al Khafiya  (în traducere - Carte de extracţie a apelor ascunse) în care a descris instrumentele de topografie, metode de construcţie a conductelor, a dat metode de întreţinere şi evitare a colmatării acestora. În afară de faptul că a avut o contribuţie originală în hidrologie, topografie şi studiul apelor subterane, este de remarcat faptul că lucrări construite după indicaţiile sale, în acea perioadă, au rezistat secolelor.  În imagine, vestigii ale unei instalaţii de pe râul Guadalquivir, din Cordoba.



Arabii au devenit faimoşi construcţiilor de acest gen.  În Arabia Saudită există şi acum un bazin de apă construit sub patronajul sultanei Zubaidah (soţia lui Harun al Rashid) dedicat musulmanilor care mergeau în pelerinaj la Mecca.



Problemele de aritmetică de genul „intr-un bazin curg trei râuri. Dacă numai primul l-ar umple într-o zi, numai al doilea în două şi numai al treilea în trei, în câte zile l-ar umple curgând toate odată?” au fost pentru prima dată enunţat de Al Karaji.

 ( bazinul s-ar umple în 12 ore). 
Singura deosebire în problemele de clasa a V-a este că nu este vorba despre râuri ci despre robinete.





[1] (Simina Ştefănescu, Numerele şi începuturile matematicii, ed. Psyhelp, Bacău, 2004)

3/31/2013


MATEMATICA ISLAMULUI DE AUR, ABU AL WAFA


 

6. Abu al Wafa (Abu Wafa Buzjani) 940-997



                Pe numele său complet Abu Al Wafa Muhammad ibn Muhammad ibn Yahya ibn Isma il ibn al- Al Abbas- Buzjani, matematicianul persan s-a născut în 940 la Buzjani (de aceea mai este recunoscut ca Al Buzjani) în Nishapur, Iran, dar a trăit în Irak. Este cunoscut atât ca astronom cât şi ca matematician.
El a trăit în timpul dinastiei Buyzilor care a avut o perioadă de maximă amploare în timpul domniei lui Ad - Adud Dawlah (949-983). Acesta a fost un mare patron al artelor şi ştiinţelor şi i-a sprijinit pe mulţi matematicieni printre care şi pe Abu Al-Wafa. Sharaf al Dawlah, fiul lui Adud, a devenit calif în 983. El a continuat să sprijine matematica şi astronomia iar Abu al Wafa a rămas la curtea din Bagdad şi a lucrat pentru noul calif. Sharaf a construit un nou observator astronomic în grădina palatului său din Bagdad, care a fost deschis oficial în prezenţa numeroşilor cărturari  precum Al-Quhi şi Abu Al-Wafa. Printre instrumentele observatorului erau un cadran de peste 6 metri şi un sextant de 18 metri, Abu Al-Wafa a construit primul cvadrant de perete pentru observarea şi studierea stelelor (cvadrantul este un instrument astronomic alcătuit dintr-un sfert de cerc şi o lunetă). Dar când peste un an califul a murit, succesorii săi au închis observatorul.
A scris mai multe cărţi  dintre care majoritatea nu mai există: Kitab ‘Ilm al Hisab  (carte de aritmetică), Kitab al Handasiyya (carte de geometrie)şi  Al Kitab al Kamil  (un fel de compendiu, o versiune simplificată a cărţii lui Ptolemeu, Almageste).
Prima dintre ele era o carte de aritmetică pentru cărturari şi oameni de afaceri. În introducere el scria că aceasta cart „cuprinde tot ce trebuie să ştie un novice în aritmetică”.  Este interesant că el şi-a scris textele fără a folosi cifrele, toate numerele fiind scrise în cuvinte şi toate calculele erau făcute mintal, deşi el era un expert în utilizarea cifrelor indiene deja încetăţenite. dar după cum spunea, carte se adresa novicilor în ale matematicii  dar necesară în mediul de afaceri şi trebuia bine înţeleasă. Lucrarea are şapte capitole: despre rapoarte (despre fracţiile ), despre înmulţire şi împărţire, despre măsurarea distanţelor, ariilor şi volumelor, despre impozitare, despre schimbul banilor, despre plata soldaţilor, despre permise de navigare şi de comerţ. Deosebit de interesant este faptul că în această carte apare pentru prima dată noţiunea de număr negativ, în legătură cu „datoriile”, şi de fapt este singurul manuscris arab în care se găsesc referiri la numerele negative.
Kitab al Handasiyya  descrie construcţiile geometrice necesare pentru un meşter constructor. Cartea are 13 capitole şi descrie instrumentele folosite în construcţii, construcţia unghiului drept, trisecţia (aproximativă) a unghiului, construcţia unei parabole prin puncte (ca rezultat al rezolvării ecuaţiilor de forma 
 ,

construcţia unor poligoane regulate (chiar dificila construcţie a heptagonului), poligoane regulate înscrise şi circumscrise, poligoane înscrise în alte poligoane, triunghiuri sferice. El a avut ca preocupare esenţială construcţiile geometrice cu ajutorul riglei negradate şi a compasului. Când acest lucru nu era posibil găsea metode de aproximare foarte bune.
Pentru calculele din astronomie a avut nevoie de valori cât mai exacte ale funcţiilor trigonometrice. Astfel el a alcătuit tabele de valori din 15’ în 15, şi mai mult aceste valori aveau câte opt zecimale exacte faţă de trei câte a dat Ptolemeu.
Pentru a determina aceste valori a avut nevoie de relaţii între diferite funcţii trigonometrice. Astfel el a stabilit şi câteva formule trigonometrice deosebit de importante:
 , 
 a folosit formulele pentru 
.
Totodată el a stabilit definiţiile funcţiilor trigonometrice ca segmente a căror variaţie dădea şi variaţia funcţiilor.


Dacă M este un punct variabil pe cercul trigonometric atunci 

iar

 şi


A stabilit şi o relaţie deosebit de interesantă pe triunghiul sferic:
.

(triunghiul sferic este triunghiul de pe sferă format de intersecţia arcelor cu vârfurile în a, B şi C.
               

 Abu al Wafa a dat o construcţie interesantă a unui triunghi echilateral ale cărui vârfuri se află pe laturile unui pătrat.Se construiesc arcele de cerc cu  centrele în A şi respectiv C şi de raze AC şi respectiv CA. Acestea se taie în E şi F. Mijloacele segmentelor CF şi CE sunt M şi respectiv N în care se ridică perpendiculare pe CF şi CE, care taie laturile pătratului în M1 şi N1. Atunci triunghiul AM1N1 este echilateral (Construcţia nu este unică).


O altă construcţie care-i poartă numele, creată în aceleaşi scopuri practice, se referă la construcţia unui triunghi echilateral înscris în acelaşi cerc în care există un pătrat.

            Evident se poate imediat construi şi hexagonul regulat.  Şi anume, în cercul de centru  O şi rază dată a se duc două diametre perpendiculare care vor determina vârfurile pătratului înscris ANQR. Cu centrul în Q şi aceeaşi rază se trasează al doilea cerc ce îl va intersecta pe primul în punctele B şi C. ABC va fi triunghiul echilateral căutat. Pentru demonstraţii este suficient să se observe că BQCO este un romb (laturi egale şi diametre perpendiculare)  Deci


adică tot atât cât apotema triunghiului echilateral înscris.
Construcţiile geometrice ale lui Abu al-Wafa au  avut un scop precis: ele foloseau în construcţii şi pentru crearea arabescurilor. În Mesquitta del Divendres din Isfaham un motiv atrage atenţia în mai multe locuri de pe faţada sa sau de la boţile porţilor. Ea este inspirată de celebra demonstraţie a teoremei lui Pitagora datorată lui Abu al-Wafa dată în Kitab al Handasiyya.



    








 În semn de omagiu pentru contribuţia sa la dezvoltarea matematicii un crater de pe Lună îi poartă numele iar formula dezvoltării în serie a funcţiei secantă se numeşte formula lui Al-Wafa