6/03/2012

PLEDOARIE PENTRU GEOMETRIE (5) – TRASEE GEOMETRICE


    
    Nu se poate spune ce sau cine o fi creat lumea noastră, dar cu siguranţă ceea ce a rezultat este armonie. Sau cel puţin aşa o percepem noi cu simţurile noastre. Dacă în natură sunt atâtea şi atâtea lucruri care respectă "tăietura de aur", era şi de aşteptat ca omul să recunoască frumosul după "chipul şi asemănarea" naturii. Şi nu numai să-l recunoască în natură ci să-l şi creeze. De cele mai multe ori această creaţie este instictiv armonioasă după regulile secţiunii de aur, sau conştient armonioasă (aşa ar fi lucrările lui Brâncuşi, Leonardo da Vinci, Le Corbusier, Mondrian, etc, despre care am scris altădată) . Şi atunci spunem că avem de-a face cu o lucrare armonioasă, proporţionată iar aceste structurări sunt denumite şi "trasee geometrice"(Adrian Gheorghiu (1909 – 1981) arhitect profesor la Institutul de Arhitectură "Ion Mincu", Bucureşti .
    Primele vădesc o anumită spontaneitate individuală, sau chiar respectă o tradiţie: există reguli moştenite despre dimensiunile pe care trebuie să le respecte casele ţărăneşti. Pentru că nu poţi crede că badea Gheorghe a făcut calcule sofisticate înainte de a-şi ridica o căsuţă. Specialişti de la Institutul de Arhitectură "Ion Mincu" din Bucureşti au verificat diferitele tipuri de locuinţe în Muzeul Satului şi au constatat că cele afirmate sunt reale.
     În cazul marilor construcţii din patrimoniul universal se presupune însă că aceste calcule au fost făcute de arhitecţii acestora.
     În secolul V î. Hr. Atena a devenit cel mai important centru cultural al timpului, iar Pericle a iniţiat un proiect ambiţios care a durat toată a doua jumătate a secolului. Parthenon, Propylee, Erechteion, templul zeiţei Atena Nike (Victoria neînaripată) sunt vizibile şi în zilele noastre. Parthenonul, templul zeiţei Athena, construit în perioada 447 – 432 î. Hr., îl are pe celebrul Phidias drept iniţiator şi constructor.
    Fotografia Parthenonului din Atena, este adevărat - mult prea des reprodusă, ne ajută totuşi să urmărim aceste trasee, geometria acestuia descoperind proprietăţi uluitoare.
     Observăm pe figura de mai jos că dacă punctul M ar fi intersecţia pantelor din A şi B ale acoperişului, iar în E s-ar situa extremitatea unei statui (cum de altfel se presupune că ar fi fost iniţial), atunci:
    - dreapta EM ar fi axa de simetrie a faţadei;
    - segmentul EC (C fiind extremitatea superioară a primei coloane) devine latura pentagonului regulat ECLOD, pe direcţia diagonalei CD fiind aliniate perfect extremităţile coloanelor;
    - dreptunghiul FGOL este în tăietură de aur, dreapta CD delimitând în partea inferioară un pătrat;
    - intersecţia dreptelor GL şi EM determină cercul circumscris pentagonului;
    - în acest cerc este înscris şi decagonul de latură EF;
    - dreptunghiul ABPQ, AB fiind direcţia antablamentului, are ca axă de simetrie aceeaşi dreaptă determinată de punctele E şi M;
    - QP este chiar linia bazelor coloanelor.
    Există o multitudine de alte exemplificări, multe contestate de unii specialişti, care susţin că aceste coincidenţe ar fi pur întâmplătoare.


     Însă toate aceste scot în evidenţă unitatea elementelor arhitecturale, compoziţia simplă şi aproape sculpturală precum şi armonia existentă între întreg şi detalii.
    Un alt exemplu, pe cât de celebru, pe atât de legat de numărul de aur este catedrala Notre-Dame din paris. Şi de fapt nu este sihgura cu aceste proprietăţi.
        Dacă fotografia de mai jos ar fi fost făcută dintr-un aşa punct încît ochiul privitorului mar fi fost plasat pe o direcţie paralelă cu faţada şi la o înălţime egală cu înălţimea centrului de greutate a faţadei, sau dacă ar fi fost o scemă a faţadei frontale (faţada de vest a catedralei) rigoarea celor ce mai jos ar fi fost evidentă.
    - dreptunghiul în care se înscrie faţada, ABFE este în tăietură de aur;
    - LABH şi MNFE sunt pătrate pe care dacă le extragem din dreptunghi, rămân respectiv două dreptunghiuri tot în tăietură de aur (regula clară de formare a spiralei lui Fibonacci, despre care am mai vorbit),
    - AB este latura unui pentagon regulat înscris în acelaşi cerc în care este înscris dreptunghiul de aur.
    -JK este axă de simetrie (situat prin centrul rozasei, şi pe direcţia turnului central);
    - portalurile de la intrare sunt încadrate în dreptunghiuri în tăietură de aur,
    - la fel rozasa şi arcele de pe al doilea registru.

    Evident există multe alte caracteristici ale elementelor de construcţie care respectă aceste trasee: planul catedralei, celelalte faţade etc.
    În concluzie, numărul de aur fiind regăsit statistic în natură şi în operele de artă, poate fi considerat o constantă naturală, printre atâtea altele. Mai mult, coexistenţa traseelor geometrice bazate pe triunghiuri echilaterale, triunghiuri de tipul 3-4-5 , pătrate, hexagoane, cu trasee bazate pe numărul φ, se explică, pe de o parte, prin necesităţile materiale şi constructive, iar pe de altă parte, prin necesităţile estetice şi vizuale

6/02/2012

PLEDOARIE PENTRU GEOMETRIE (4)- PERSPECTIVA


    
    Perspectiva este instrumentul prin care pictorii construiesc spaţiul pictural şi redau iluzia depărtării. Spaţiul pictural nu este spaţiul real, cel perceput din realitatea înconjurătoare, pictorul având menirea de a crea iluzia acestuia pe o suprafaţă plană. Redarea în plan a spaţiului se face deci prin perspectivă lineară, sau, cum se mai numeşte ea geometrică. A fost descoperită de arhitectul, sculptorul şi pictorul italian Filippo Brunelleschi (1377 – 1446), atunci când a conceput cupola Domului din Florenţa. Pictorii italieni au încercat să o definească riguros şi să o teoretizeze. Astfel, în lucrarea De pictura (1435) Leon Battista Alberti (1404 – 1472) scrie: "voi lua din matematică acele noţini cu care subiectul meu are legătură". Subiectul principal era perspectiva, ca instrument geometric de reprezentare în arhitectură şi pictură. Pierro della Francesca (1415 – 1492) a scris pentru elevii săi De prospectiva Pingendi. Aici introduce noţiunea de punct de fugă.
    În general transpunerea într-un plan corpuri tridimensionale şi relaţionarea lor presupune deformarea formelor şi distanţelor spaţiale, în raport cu apropierea sau depărtarea faţă de privitor. Această deformare este esenţială în perceperea adâncimii, a profunzimii.
    Pentru om, câmpul vizual are forma unui con cu o deschidere de aproximativ 53˚, cu vârful în ochiul privitorului şi care se lărgeşte pe măsură ce distanţa creşte. Obiectele din prim-plan (de obicei situate în marginea de jos a unui tablou) apar mai mari, deoarece ocupă toată suprafaţa retinei, iar cele din planul îndepărtat apar mai mici, undeva spre linia orizontului. Din acest motiv, perspectiva liniară se mai numeşte proiecţie conică.
    Şi în planurile arhitecturale, perspectiva liniară serveşte pentru a crea impresia de adâncime şi astfel apar acele deformări despre care vorbeam în reprezentarea coloanlor, a dalelor de pardoseală, a tavanelor sau a mobilierului.
    Picturile sau fotografiile care folosesc perspectiva liniară pornesc de la premisa că există un punct fix de observaţie din care este examinată imaginea. Acest punct de vedere al privitorului se proiectează de regulă pe linia orizontului (care se numeşte nivel fix de observaţie). (În multe cazuri, armonia imaginii este dată şi de faptul că linia orizontului împarte lătimea tabloului sau a fotografiei în raportul de aur - 1,618...).Punctul de vedere al privitorului este punctul de fugă. Obiectul este redat ca şi când ar fi aşezat perpendicular pe suprafaţa tabloului, iar pentru cerearea iluziei de spaţiu, liniile sunt dispuse în unghiuri faţă de planul pictural, în aşa fel încât să dea impresia de coerenţă şi convergenţă spre acelaşi punct. Exemplificatoare în acest sens este aparenta convergenţă în depărtare a celor două şine ale unei căi ferate, sau marginile laterale ale unui drum.


În perspectiva cu un singur punct de fugă, obiectul reprezentat este văzut frontal. Înălţimea şi lăţimea sunt paralele cu planul pictural. Partea din faţă a obiectului nu prezintă adâncime. Părţile laterale, partea de sus şi cea de jos se extind în desen şi creează iluzia de adâncime.


    Se vede că, dacă obiectul este de exemplu un cub, reprezentarea acestuia nu este cea didactică, în care feţele cubului sunt paralele şi egale două câte două şi în reprezentarea spaţială. Aşa vor fi reprezentate interioare de încăperi în pictură sau design.



    Perspectiva poate fi aplicată la sisteme care utilizează un punct de fugă (perspectivă paralelă), două puncte de fugă (perspectivă angulară)
    Perspectiva cu două puncte de fugă se foloseşte atunci când se intenţionează ca obiectul să pară aşezat în alt unghi decât 90˚ faţă de planul pictural. În acest caz, cele două puncte de fugă sunt fixate pe linia orizontului, de o parte şi de alta o obiectului înfăţişat.

Perspectiva cu trei puncte de fugă (perspectiva oblică) este folosită atunci când obiectul este văzut de sus sau de jos.