CATEDRALE GOTICE 2, ARCE ŞI BOLŢI

    

    Am pornit iniţial cu intenţia de a expune, cu modestele-mi cunoştinţe, legătura între numărul de aur, artă în general şi arhitectură în special şi istorie, dar necesitatea de a explica în detaliu aspectele care intervin precum şi vastitatea subiectului, implică o altă abordare a subiectului.

    Încerc să dezvolt subiectul arcelor din construcţiile gotice. Nu spun "arcuri"aşa cum am mai văzut, ci arce. Arc, din punct de vedere matematic este un substantiv neutru al cărui plural este "arce".

    În afară de o clasificare în funcţie de diferite caracteristici şi de exemple concrete în diferite construcţii, mă interesează construcţia geometrică a unui arc    .

    Arta gotică s-a format pe fundamentul artei romanice, şi a durat de pe la mijlocul secolului al XII-lea până în secolul XVI, cu prelungiri până în secolul al XIX-lea (în Anglia şi dar în estul Europei – de exemplu în Transilvania).

    Principala caracteristică structurală a artei gotice – spaţiile largi care să permită luminii să fie accesibilă în toate colţurile clădirii, i-a provocat pe zidarii masoni, care şi-au desăvârşit arta prin invenţii precum arcul ogival, bolta cu nervuri, arcul butant. Aceste inovaţii au permis crearea de ziduri subţiri, ferestre mari, sau dantelării ale arcelor butante care de fapt au rolul de a prelua presiunile exercitate de bolţile lărgite.

    Se disting trei faze ale goticului:

- gotic lanceolat –turlele clopotniţelor în formă de lance,



Catedrala din Chartres



- gotic radiant – stilul rayonnant, caracterizat prin razele care pleacă de la ferestrele sub formă de rozetă (numită şi rozasă)



Catedrala Notre Dame, Paris

- gotic flamboaiant – bolta cu ogive în care arcele se pierd direct în stâlp fără să se sprijine pe un capitel. Caracteristică primului stil este catedrala din Chartres, sau Saint Denis din Paris, despre care am vorbit în postarea precedentă, în stil rayonnant este Notre Dame din Paris, iar flamboaiant sunt, de exemplu, catedralele din Amiens, din Reims sau catedrala Westminster din Anglia.

 

Catedrala din Reims

       Cât priveşte arcele, acestea sunt elemente de arhitectură, formate din una sau mai multe curbe – continui sau frânte, semicirculare sau nu, care preiau încărcăturile continui ale zidurilor, ale ale frontoanelor sau al acoperişului şi le distribuie lateral către elementele portante vericale – coloanele, pilaştrii sau zidurile discontinui.

    După geometria curbelor arcul poate fi :

    - arc în plin cintru la care înălţimea ar este egală cu raza deschiderii,

    - arcul ogival format din două arce care pot avea razele egale cu deschiderea - ogivă echilateră, sau mai mare – ogivă ascuţită. Astfel de arce formează bolţile ogivale, putând fi formate din patru sau şase arce.

     Iată construcţia unor arce ogivale: segmentul AB, deschiderea, se împarte de exemplu în patru părţi egale asfel că AA₁ =A₁O=OB₁=B₁B şi se iau A₂ şi B₂ simetricele faţă de A şi B ale lui A₁ respectiv B₁. Acul de cerc cu centrul în A₂ şi rază A₂B taie arcul cu centrul în B₂şi rază B₂A în C. Astfel am găsit arcul ogival ACB.- dacă punctele A₁ şi respectiv B₁ împart segmentul AB în tăietură de aur obţinem un arc ogival foarte des utilizat în construcţia bolţilor catedralelor gotice.

- arcul rampant , este arcul la care se cunoaşte deschiderea precum şi unghiul rampei, fie acesta α, şi evident β=180⁰-α. Construim bisectoarele unghiurilor α şi β. Bisectoarea din β taie AB în C₁. Din C₁ se duce perpendiculara pe FE care taie bisectoarea din F în C₃. Apoi construim arcul cu centrul în C₁ şi rază C₁B şi arcul cu centrul în C₃ şi rază C₂C₃ care va ajunge pe coloana din A în P. Am obţinut arcul rampant PC₂B.

 

- arcul eliptic, este un arc romanic, dar folosit foarte des şi astăzi. Segmentul AB se împarte în trei părţi egale, AC₁=C₁C₂=C₂B. Se construieşte triunghiul echilateral de latură C₁C₂, al treilea vârf fiind C₃. Se construiesc următoarele arce : cu centrul în C₁ şi rază AD, cel cu centrul în C₂ şi rază CB şi cel cu centru în C₃ şi rază CD.

Am obţinut arcul eliptic ADCB. Aceasta este o construcţie empirică a elipsei, metoda grădinarului fiind cea absolut corectă. Se ştie că elipsa este locul geometric al punctelor din plan care au suma distanţelor la două puncte fixe (focarele), constantă. Atunci fixăm două puncte, fie ele F₁ şi F₂ pe care le materializăm în teren prin doi ţăruşi şi legăm capetele unei sfori de F₁ şi F₂, mai mare decât distanţa dintre cele două puncte, şi cu un alt ţăruş mobil, trasăm pe teren de o parte şi de alta a fegmentului F₁ F₂ câte un arc. Vom găsi în mod sigur o elipsă.-  arcul trilobat sau treflat, arc ce se întâlneşte, de exemplu, la biserica din Nicoreşti, Galaţi.

 

- arcul lanceolat, Se cunosc AB şi FF' paralele la distanţă RC cunoscută, cunoscută este şi poziţia punctului S, iar V şi T împart UW în secţiune de aur, sau se consideră la o anumită distanţă fixată faţă de U şi W. U şi W sunt situate pe paralela din S la AB, pe direcţia stâlpilor din A şi B. Se construiesc arcele următoare: cu centrul în V şi rază UW, cu centrul în T şi rază TU. Acestea generează arcele UF şi WF'. Arcele de cerc cu centrul în W şi rază UV, respectiv cu centrul în U şi rază UW se întâlnesc în J. Am obţinut astfel arcul lanceolat FUJWF'.

   

Mai există evident o multitudine de stiluri de arce: arcul flamboaiant, arcul frânt, arcul stil Tudor, etc.

    După rolul structural pe care-l are un arc acesta poate fi:

    - arc butant, despre care am mai vorbit.



Catedrala Notre Dame, Paris



Catedrala din Amiens



    - arc de descărcare, arc ce dă forma zidăriei situate deasupra unei deschideri. Este un arc vechi, pe care îl găsim de exemplu la Poarta leilor de la Micene (ridicată în jurul anului 1250 î.Hr.). Cetatea Micene, descoperită de celebrul Heinrich Scliemann (descoperitorul Troiei) este cel mai vechi exemplu de construcţie monumentală din Europa. Poarta a avut iniţial o înălţime de zece metri şi o deschidere tot atât de mare, piatra sculptată cu lei, aşezată peste arc având trei metri şi cântărind aproximativ două tone, dar oricum mai puţin decît pietrele laterale. Pietrele erau totuşi atât de mari încât grecii le numeau "ciclopice", deoarece ei considerau că doar legendarul ciclop le-ar fi putut ridica şi amplasa astfel.

Poarta leilor, Micene

Se presupune că acelaşi fel de arc ar fi fost la Poarta leilor de la Hattussas

Poarta leilor, Hattussas

Hattusas, sau Khattushat, azi Boghazköy în Turcia, a fost capitala imperiului hitit, imperiu care a cunoscut o efervescenţă militară puternică între 1750-1200 î. Hr. dar despre care nu s-a ştiut mai nimic până în secolul al XIX-lea, când săpături arheologice au scos la iveală vechiul oraş. De fapt au fost căutate şi găsite tăbliţe cuneiforme. Lucrările arheologice făcute de neprofesionişti au distrus multe relicve. De exemplu Hugo Winckler, specialist în limbi antice, dar nu în arheologie, nu se deplasa în şantier, ci stătea toată ziua în cortul său şi încerca să descifreze inscripţiile găsite. Nu era deloc deranjat de faptul că asistenţii săi îi aduceau bucăţi de tăbliţe de argilă, tăiate brutal cu toporul de la locul săpăturilor. Totuşi, a făcut o descoperire importantă, una dintre tăbliţe, care era în limba akkadiană, reprezenta un tratat între Ramses al II-lea şi Hattusilis, cei doi conducători ai Egiptului şi respectiv al imperiului Hitit. Ulterior, săpăturile arheologice au scos la iveală un oraş aproximativ de mărimea Atenei, cinci temple, o cetate fortificată, sculpturi uriaşe. Printre acestea şi "Poarta leilor", despre care vorbeam mai înainte, o uriaşă poartă de intrare în cetate, alcătuită din bklocuri enorme de calcar, de câte 7 metri înălţime.

- arcul dublou, întăritură adăugată unei bolţi în plin cintru, pentru a prelua rezistenţa la împingere a bolţii, aşa cum ar fi fost această boltă de la Cetatea Neamţului.

 

    

CATEDRALE GOTICE - 1. SAINT DENIS

    În mulţimea numerelor iraţionale, φ, faimosul număr de aur îşi dispută întâietatea cu numărul π dar cu siguranţă este câştigător. Nu spune nimeni că π nu este spectaculos sau că nu a revoluţionat ştiinţa, dar φ este expresia armoniei şi datorită acestui fapt poate că este mai aproape de noi.

    Cunoscut încă de Pitagora, care îi dădea chiar o importanţă mistică, sau de Euclid, cel care i-a dat definiţia de "împărţire în medie şi extremă raţie", numărul φ nu se regăseşte în tratatele occidentale din evul mediu, dar reapare spectaculos în perioada renaşterii (Luca Pacioli, Divina Proportione). În realitate φ nu a dispărut, ci dimpotrivă, şi-a înstăpânit întâietatea prin utilizarea sa în construcţiile bisericeşti.

    La Saint Denis, suburbie în nordul Parisului, exista încă din secolul al VII-lea o biserică ridicată de Dagobert I al Franţei – cu statut de mănăstire benedictină. Legenda spune că un lepros şi-ar fi găsit adăpost pentru o noapte în bisrică, şi atunci i s-ar fi arătat Hristos însoţit de îngeri care l-ar fi vindecat, pielea fiindu-i schimbată cu una curată şi sănătoasă. O rămăşiţă a pielii este păstrată cu sfinţenie pe unul din pilonii centrali ai bisericii. Datorită numărului mare de credincioşi care veneau în zilele de sărbătoare la biserică era necesară o mărire şi totodată o reconstrucţie a sa.

    Pe locul acestei biserici abatele Suger a înălţat în 1144 prima catedrală gotică din lume. Saint Denis, primul episcop al Franţei şi sfântul octrotitor al ţării, a avut un sarcofag exact pe locul unde s-a săvîrşit. Poate de aceea biserica a rămas pentru totdeauna "o imensă criptă regală", toţi monarhii Franţei şi familiile lor fiind înmormântaţi aici, mai puţin Ludovic al XVI-lea şi soţia sa Maria Antoaneta, ucişi în timpul revoluţiei franceze (e drept că mai târziu osemintele tot aici au fost aduse).    Abatele Suger a fost conducătorul reconstrucţiei bisericii, nu arhitectul său, deşi desenul faţadei catedralei îi este atribuit lui. El a dorit să creeze o biserică măreaţă, o reprezentare pământească a spiritualităţii, rezultatul fiind o clădire de o verticalitate şi liniaritate impunătoare.    Denumirea de catedrală "gotică" i-a fost dată abia în secolul al XVII-lea, în dispreţ de către cei care vedeau această artă ca pe o artă "barbară". Şi ce era mai "barbar" decât invazia goţilor de la sfârşitul antichităţii? În realitate catedralele gotice sunt comparabile cu cele mai mari creaţii ale geniului uman.    Prin ce sunt caracterizate ele?     Cunoaştem că baza, planul catedralelor este cruciform, dar deosebit este faptul că numărul de aur dictează formatul. Astfel ABHG, BDJH, CEKI şi EFLK sunt pătrate, iar dreptunghiurle ACIG, BEKH şi DFLJ sunt dreptunghiuri de aur. Acest sistem modular nou, nefolosit până atunci, a creat un spaţiu amplu care oferă evidenţierea opulenţei bisericii dar lasă loc şi misterului sacru. Savantul american H.W. Janson, specialist în istoria artei, a scris în 1962: "Armonia – care este o relaţie perfectă între părţi în ceea ce priveşte proporţiile matematice, este sursa frumuseţii, deoarece imită motivul divin al creaţiei".

  

    

    În al doilea rând prin luminozitate, lumina fiind pur şi simplu un material de construcţie – unul din principiile pe care le-am regăsit la Le Corbusier în secolul XX, acesta fiind la el chiar primul principiu al arhitecturii moderne! Ori, pentru aceasta era nevoie de ferestre mari, zidurile şi tavanul trebuind dă suporte presiuni laterale şi verticale foarte mari. Aceasta a dus la una dintre cele mai mari invenţii ale artei gotice, şi anume, arcul ogival şi la cea a arcului butant. Se adaugă bolta ogivală, rozeta faţadelor, cheia de boltă gotică, vitraliile.

    Ogiva este un arc diagonal frânt (arcele ogivale sunt situate pe direcţia diagonalelor pătratului care acoperă bolta) şi se sprijină pe doi stâlpi. Este realizat din nervuri de piatră profilate, amplasate la nivelul muchiilor a două bolţi care se întretaie, contribuind la crearea unui fel de schelet solid pe care se sprijină bolţarii şi se echilibrează forţele de împingere. Aceasta a permis ca zidurile să fie mai subţiri, ferestrele mai mari ajungând până aproape de podea, deci mai multă lumină – abatele Suger numindu-le "coroane de lumină", iar coloanele de sprijin, extrem de subţiri.

    Pentru a prelua presiunea laterală mare exercitată a fost inventat arcul butant care, în afară de rolul de susţinere pentru care au fost create, generează o dantelărie exterioară încântătoare (Vezi şi Domul din Milano).

    Cheia bolţii este punctul de întâlnire a arcelor bolţii. Încrucişarea arcelor ogivale crează difeite forme de la bolta simplă cu patru părţi – sistem numit cruce în ogivă, până la cea cu şase părţi (sexapartită) sistem în care se adaugă un arc suplimentar orizontal, sau chiar cu mai multe, ceea ce dă aspectul unei reţele cu nervuri.

    Zidurile sunt înalte cu ferestre mari (spre deosebire de construcţiile în stilul precedent celui gotic, cel romanic, avînd ziduri groase şi ferestre mici). Ferestrele au formă ogivală. Vitraliile sunt o adevărată "biblie scrisă de razele soarelui". Ele reprezintă scene din Biblie, deoarece în acele vremuri existau prea puţini ştiutori de carte şi atunci marea majoritate a credincioşilor "citeau" Biblia prin desenele de pe ferestre. În multe alte catedrale, vitraliile mai înfăţişează şi scene din etapele ridicării construcţiei, sau scene din activitatea ctitorilor. Vitraliile ogivă sunt adesea echilaterale, adică arcele au centrele în extremităţile bazei.

    Monotonia creată de regularitatea şi simetria construcţiei sunt rupte prin detalii care mai de care mai diversificate: rozetele faţadelor, basorefiefuri care umanizează arcele portalurilor, statui.

 

FĂRĂ MATEMATICĂ NU EXISTĂ ARTĂ

    Cuvintele spuse de Luca Pacioli la sfârşitul secolului al XV-lea "fără matematică nu există artă" justifică parcă fiecare afirmaţie din cele spuse până acum referitoare la artişti sau arhitecţi ai trecutului. De la Phidias, sculptorul grec care a creat Statuia lui Zeus din Olimp (aproximativ 432 î. Hr.) şi a cărui iniţială a devenit impresionantul număr φ, până la David al lui Michelangelo (1504), de la Mona Lisa lui Leonardo (1506) până la Cina cea de taină alui Dali (1955), toate respectă cu sfinţenie proporţia de aur. Calculele specialiştilor au dovedit-o.

    În contemporaneitate studiile despre numărul de aur precum şi aplicaţiile sale practice au devenit o preocupare obstinantă pentru unii artişti şi oameni de ştiinţă pasionaţi de misteriosul număr.

    Sculptorul australian Andrew Roger Rogers a conceput în 1998 un mega proiect intitulat Rythms of life care a implicat realizarea unei serii de lucrări megalitice, amplasate în 13 ţări din toate continentele lumii (până şi în Antarctica!), structuri masive din piatră sau uriaşe geoglife.

     Ideea sa este de a crea o metaforă optimistă pentru ciclul vieţii veşnice sugerată de necesitatea conservării patrimoniului natural şi artistic al omenirii. Zic patrimoniu natural deoarece toate lucrările sale sunt amplasate în locaţii ciudat sau chiar stranii: deşertul Arava din Israel, muntele Kurunegala din Sri Lanka, deşertul Atakama din Chile, Munţii Tatra din Slovacia, deşertul Mohave din SUA, Cappadocia din Turcia şi altele.

    În Ierusalim sculptorul a amplasat o lucrare de 50 de tone intitulată Golden ratio (Secţiune de aur), alcătuită din 53 de blocuri de piatră, numărul lor respectând pe verticală primele numere din şirul lui Fibonacci. O lucrare cu aceeaşi temă, ceva mai mare, cât o clădire cu patru etaje, se găseşte pe Green River în Utah. pe verticală sunt 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 blocuri de piatră, dintre care două sunt negre şi unul, cel de la vârf este aurit, şi a treia, în Sri Lanka, pe ciudatul munte Kurunegala, şi este doar cât o jumătate din celelalte. Pentru ridicarea acesteia au lucrat 852 de oameni.

    

    În Scoţia, o familie pasionată de geometrie, arhitectul Charles Jencks împreună cu soţia sa posesori ai unui conac victorian din secolul al XVIII-lea şi a unui teren impresionant, şi-au creat o grădină de o spectaculozitate deosebită. Cu atât mai mult stârneşte curiozitatea cu cât este deschisă publicului o singură zi din an. Ei au gândit grădina ca pe un elogiu adus magiei naturii printr-un design peisagistic deosebit. "Ce este o grădină dacă nu o miniaturizare a Universului?" întreba Jencks.

      Spirala lui Fibonacci pare a fi leit motivul grădinii intitulată Garden of cosmic speculaation. Nu vorbim despre plantele de aici, deşi unele merită descrise, ci despre combinaţia deosebit de spectaculoasă între metal, piatră, apă şi iarbă care realizează un joc magnific. O movilă terasată după spirala lui Fibonacci sau un deal terasat şi el intitulat "Străzile din San Francisco"sunt numai câteva exemple.

PIET MONDRIAN

 

"Eu cred că este posibil ca, prin liniile orizontale și verticale construite conștient, dar nu cu calculare, îndrumate de înalta intuiție și aduse la armonie și ritm - aceste forme de bază ale frumuseții, suplimentate dacă este necesar cu alte linii sau curbe directe, pot să devină o lucrare de artă şi puternică și adevărată."

    Piet Mondrian s-a născut pe 7 martie 1872 în Olanda, şi iată, sunt 140 de ani de atunci. Deşi în toată viaţa sa a pictat multe peisaje şi flori, ura acest lucru, dar îl făcea în special pentru a se întreţine. Primele sale tablouri reflectă influenţa tendinţelor avangardiste precum post-impresionismul şi cubismul. În 1917 pune bazele neoplasticismului, împreună cu prietenul său Theo Van Doesburg, şi crează revista De Stijl. De fapt matematicianul olandez M.H.J. Schoenmaekers publicase "Principles of plastic mathematics" în care a sugerat că realitatea ar putea fi mai bine exprimată printr-o juxtapunere de culori primare peste o luptă a contrariilor vizualizate ca forţe verticale şi orizontale. De Stijl îşi stabileşte principiile care îndeamnă la găsirea realităţii pure, a preciziei controlabile, a frumuseţii exacte, riguroase, toate consfinţind armonia lumii. Aprecierea formală a modernismului în pictură fiind de fapt o înţelegere fundamentală a acestei lingua franca: geometria. Mondrian: "Iată ce trebuie să caute arta: liniştea sufletului" şi "liniştea devine vizibilă din punct de vedere plastic prin armonia raporturilor". Aceste raporturi sunt raporturi de poziţie, dintre care cele mai apropiate de perfecţiune sunt unghiul drept şi linia dreaptă, căci "rectilinia este desăvârşirea curbei", raporturi de proporţii – diviziunile simple şi numărul de aur, şi raporturile de culoare ajunse la desăvârşire prin culorile primare (roşu, galben şi albastru, culori care nu se pot obţine prin amestecarea altora) combinate cu albul şi negrul. Despre verde el spunea că "este suficient în natură", astfel că un copac pictat de el, intitulat chiar "copacul roşu" pare sfidător de ireal, dar armonios. Să nu uităm că Proust spunea: "frumuseţea nu se află în culori ci în armonia lor".

 

    Simetria şi proporţia l-au definit ca om pe Mondrian. Pictoriţa germană, feminista Hannah Hoch spunea că "toată viaţa a fost un om calculat: nu putea să vadă ceva în dezordine. El suferea şi numai dacă vedea un tabel care nu denota o simetrie perfectă"

    Iată cum putem "construi" o copie după Mondrian folosind linii şi unghiuri drepte dar şi raportul armonic:

 

• Se pleacă de la pătratul iniţial ABCD se construieşte punctul φ care împarte diagonala AC în raportul de aur (1,61…);
• Se duce paralela prin φ la AB şi rezultă punctele E şi F pe laturile opuse,
• Perpendiculara prin φ pe AC generează punctul N;
• Paralela prin N la AC dă punctul P;
• EF şi PN se taie în Q;
• Perpendiculara prin Q la AC dă punctele Z şi R,
• Paralela prin R la AC dă punctele U şi S,
• Perpendiculara prin S pe AC dă punctele V şi W.
•     Atunci segmentele RU, VW, VP şi ZR sunt cele căutate. Ele au grosimi proporţionale cu numerele 2, 3, 4, 5. Am găsit una dintre picturile celebre ale lui Mondrian, pătratul ABCD întretăiat de segmentele RU, VW, VP şi ZR.

    De fapt Mondrian foloseşte numai dreptunghiuri de aur ale căror laturi sunt în raportul φ.

    Un celebru tablou, Compoziţie în roşu, galben şi albastru, dovedeşte cu prisosinţă acest fapt. O serie de linii drepte, de grosimi proporţionale cu 2, 3, 4 împart pătratul în dreptunghiuri, dintre care unul este galben şi altul albastru.





    Folosind măsurătorile pe fotografie, care este absolut proporţională cu originalul, am determinat mărimile segmentelor formate pe laturile exterioare ale dreptunghiului iniţial. Am determinat toate dreptele, evident paralele cu laturile dreptunghiului şi am aflat o serie de concordanţe uimitoare:

• N este mijlocul lui JQ;
• N împarte segmentul PM în raportul φ;
• F împarte pe AJ în φ;
• În colţul dreapta sus exită un pătrat cu latura OQ;
• O împarte QI în φ;
• P împarte MQ în φ;
• EJOR este pătrat;
• K R taie latura pătratului roşu în φ;
• S împarte AP în φ;
• Paralela prin P la bază determină un pătrat cu latura AG,
• Paralela prin M la bază determină un pătrat cu latura AD;
• Diagonala prin J a dreptunghiului iniţial trece tot prin S,
  şi se poate continua.

    Pictura reprezintă o reţea armonioasă (poate este e reprezentare a vieţii), a cărei monotonie este spartă din când în când de dreptunghiuri de aur sau pătrate (întâmplări neprevăzute). Personal, tabloul mi se pare un elogiu adus frumuseţii, echilibrului, simplităţii dar şi hazardului.

    Astăzi, arhitecţi de renume au înţeles principiile lui Mondrian şi îşi organizează faţadele clădirilor sau sistematizarea oraşelor exact pe aceste principii. Nu mai spunem de designul interior care capătă vioiciune prin implementarea acestora.

    Aşa cum am văzut, casele din Manarola (Italia) sau o încărcătură de containere pe un vapor parcă sunt aşezate de Mondrian.