5/31/2012

PLEDOARIE PENTRU GEOMETRIE (3) - QUASICRISTALE



  
      Unul dintre cele mai frumoase exemple de îmbinare între aritmic şi geometric la greci, şi care tocmai de aceea nu lipseşte din "bazele frumosului", este descoperirea raportului "medie şi extremă raţie", sau numărul de aur, egal cu 
    La Pitagora , el rezultă din construcţia pentagonului regulat, iar la Platon, ca valoare a proporţiei continue ce se formează cu un întreg ce se poate scrie ca sumă a două din părţile sale componente (M+m):

 care cu notaţia

 devine ecuaţia de gradul al doilea, a cărei soluţie pozitivă este tocmai φ. Şi astfel, pentagonul regulat, convex sau stelat, observat în natura vie, ca şi dodecaedrul regulat (la care Pitagora a ajuns de la cristalul de pirită), vor fi devenit simboluri pentru calităţi şi năzuinţe sufleteşti, prin urmare şi moduri de structurare armonioasă, unitară, echilibrată şi vie a creaţiilor omeneşti. Căci simetria pentagonală s-a perpetuat de la vasele şi templele antice greceşti, la catedralele gotice şi în arta Renaşterii, şi uneori suprapusă unor simetrii cristaline (deci constructive) de ordin 3, 4, 6, şi ceea ce este de curând, foarte important, o simetrie de ordin 5, despre care se credea că nu poate exista.
    Cercetătorul israelian Daniel Schechtman a primit în anul 2011 premiul Nobel pentru chimie, pentru descoperirea quasicristalelor. Ideile lui Schechtman au fost iniţial tratate cu îndoială şi chiar cu dispreţ de însăşi colegii săi, care au crezut că asemenea structuri sunt imposibile. Apoi, mult timp quasicristalele erau produse doar în laborator, iar de curând, geologii le-au găsit în roci din Munţii Koryak, din Rusia. Este drept că există ipoteza, foarte posibilă, că aceste roci ar proveni dintr-un meterorit ajuns pe Pământ. Mineralul, un aliaj de aluminiu, cupru şi fier, demonstrează că aceste structuri se pot forma şi în condiţii naturale.
    
    Cristalele sunt forme ale stării solide a materiei în care unităţile structurale constitutive (tomii, etc) sunt dispuse într-o riguroasă ordine geometrică. Cele clasice se conformează ordinelor de simetrie 3, 4, 6. Cele mai răspândite exemple sunt diamantul (reţea cubică) şi grafitul (reţea hexagonală) ambele fiind pe bază de atomi de carbon. Ilustrarea perfectă a cristalelor s-ar putea face recurgând la imaginea pavajelor plane. Dacă plăcile au forma pătrată, triunghiulară sau hexagonală, ele umplu perfect o suprafaţă plană, fără a lăsa zone libere. Acelaşi lucru se întâmplă şi în spaţiu, cubul, tetraedrul regulat sau prisma hexagonală îl umplu perfect.     
    Quasicristalele încalcă una dintre regulile simetriei care se aplică tuturor structurilor cristaline convenţionale, cea despre care scriam mai sus, şi anume prezintă simetrii de ordinul … 5! Acest fapt se constată la dodecaedru (poliedrul cu 12 feţe) şi icosaedru (poliedru cu 20 de feţe), care nu există în natură!
    Faptul că enigmaticele quasicristale există totuşi în regnul mineral înseamnă că ele au atomii dispuşi în mod regulat dar neperiodic. Ele reprezinză o nouă formă de organizare a materiei, intermediară, între materialele amorfe (structuri dezordonate, haotice) şi cristale (structuri perfect ordonate). Este ceea ce se numeşte cvasi-periodicitate.
    Reprezentarea plană este cumva asemănătoare, ca aspect, cu mozaicurile arăbeşti.
    Pe o suprafaţă plană, exemplul reprezentativ îl constituie pavajul realizat de matematicianul Roger Penrose, în care există combinaţii ce umplu perfect suprafaţa, având la bază rombul (rombul de aur) şi formând pentagoane regulate convexe şi pentagoane stelate care nu se repetă după nici o regulă fixă. Este vorba despre romburi cu unghiul ascuţit de 72˚ şi cel obtuz respectiv de 108˚, unghiuri ce caracterizează pentagonul regulat.
    Iar ca proprietăţi fizice se ştie că sunt rău conducătoare de căldură şi electricitate, sunt extrem de dure, ceea ce le face să fie folosite în industrii de vârf precum aeronautica şi industria aerospaţială. Discurile de frână de la "Airbus" sau unele componente ale rachetei "Ariane" au la bază aliaje quasicristaline care combină aluminiu cu paladiul şi reniul sau cuprul cu paladiul. Rezistă excelent la coroziune şi oxidare, fiind în acelaşi timp şi izolatoare termice.

5/30/2012

PLEDOARIE PENTRU GEOMETRIE (2)



 
    Bipolaritatea geometriei – a ordinei şi a măsurii – dezvoltată de greci până în secolul al V-lea d. Hr., stă la baza întregii evoluţii a geometriei, deci şi a matematicii.
    Aparent întreruptă, deplasată în Orient şi reîntoarsă în Europa medievală, sau implicată în alte domenii de gândire şi creaţie, geometria îşi reflectă noţiunile şi metodele prin astronomie, fizică şi chimie, prin construcţii şi artă, îmbogăţindu-se ea însăşi cu noi domenii.
    Geometria catedralelor gotice este rezultatul unei combinaţii între o geometrie metrică-mecanică a structurilor subţiri de piatră şi o geometrie a proporţiilor şi a simetriilor, a luminii şi a culorii. Prima conduce la stereotomie, iar aceasta la geometria descriptivă, pe când cea de-a doua se constituie treptat într-o geometrie a artei şi a simbolicii.
    Geometria greacă se redescoperă o dată cu Renaşterea italiană şi devine utilă într-o bipolaritate. O geometrie a artei – deci a ordinei, şi o geometrie a mecanicii, care se întrunesc într-o geometrie a construcţiei. Iar geometria artei include o redescoperire remarcabilă: perspectiva. Grecii antici o considerau, sub numele de scenografie, o ramură a opticii utilizând-o mai ales în decorurile de teatru. Romanii o foloseau în construcţii (de exemplu Bruneleschi) şi în pictură (Leonardo da Vinci). Din Italia, perspectiva trece în Franţa unde Desargue şi Pascal o transformă într-un instrument de investigaţie de geometrie pură ca proiecţie conică, fiind o continuare a geometriei lui Apollonius. În acelaşi timp, geometria măsurii devine prin Descartes, prin îmbinare cu algebra, geometrie analitică.
    Dar o anumită geometrie a măsurii a lui Arhimede devine acum geometrie diferenţială prin Leibniz şi Newton cu aplicaţie în dinamică şi apoi prin Gauss, în studiul local al suprafeţelor.
    Mai amintim dezvoltările reciproce ale cristalografiei şi a geometriei grupurilor finite, ale geometriei descriptive şi ale topografiei.
    Astfel se ajunge ca în secolul al XIX-lea să se acumuleze creaţii de forme şi structuri geometrice, descoperiri de proprietăţi, operaţii şi transformări geometrice şi, odată cu critica fundamentelor geometriei, diversificări ale acesteia, prin metode (analitică, pură şi sintetică, descriptivă), prin tipuri de proprietăţi (metrică, afină, proiectivă, topologică), prin număr de dimensiuni (hiperspaţii), prin tipuri de structuri spaţiale (euclidiane, neeuclidiene, topologice, abstracte, etc).
    Iar în anul 1872 apare celebrul "Program de la Erlangen" al lui Felix Klein, ca o nouă şi mai generală fundamentare a geometriei – prin noţiunea de grup de transformări care lasă invariante anumite proprietăţi, şi prin care geometria lui Euclid, a deplasărilor fără deformare, constituie "grupul principal". Această magistrală sistematizare, a doua după cea a lui Euclid, prin generalizările şi conexiunile posibile între toate domeniile matematicii, a făcut posibile dezvoltările ulterioare până la geometria spaţiu-timp-materie a lui Einstein.
    Dan Barbilian considera că esenţa matematicii nu este calculul ci " o lume de concepte, abstracţiuni ale unor date directe ale experienţei", adică tocmai esenţializările obiectelor şi fenomenelor naturii. Iar "tratarea realistă a acestora o constituie nu dezvoltările algoritmice, ci combinarea logică a axiomelor". Şi dă un exemplu: "stăpânirea completă a a funcţiilor de variabilă complexă este dată nu de integrale sau serii de puteri, ci tratamentul axiomatic al lui Riemann". Mai în detaliu, prima reprezentare a lui Cauchy este de sinteză, în "spirit geometric", a doua, a lui Weierstrass, în "spirit analitic", dar a lui Riemann este intuitiv-geometrică prin identificarea respectivelor funcţii cu un tip de suprafeţe, care de altfel, îi şi poartă numele - "suprafeţe Riemann".
    Mai departe, prin generalizarea şi aprofundarea unor capitole limitrofe de geometrie şi analiză (topologie), de aritmetică şi analiză (teoria mulţimilor), matematica a pătruns în domenii aleatoare ale formelor şi fenomenelor întâmplătoare, imprecise, ajungând a stabili legi ale hazardului sau ale posibilului şi a le modela algoritmic.

Note
1. Filippo Brunelleschi (1377 – 1446), inginer, arhitect, sculptor din Florenţa. Este unul dintre cei mai de seamă arhitecţi ai renaşterii italiene, contrucţiile ale căror proiecte îi aparţin sunt admirate şi astăzi.
2. Gérard Desargue (1591 - 1661), matematician francez. A lucrat ca inginer arhitect şi consultant tehnic  a lui Richelieu, ocazie cu care a proiectat mai multe clădiri publice sau private în Paris şi Lyon.
3. Blaise Pascal (1623 – 1662)matematician, fizician şi filozof francez. La 16 ani găseşte legaturile între coeficienţii binomiali – triunghiul lui Pascal, fapt ce-l determină pe Newton să generalizeze formula binomului ce-i poartă numele şi pentru numere întregi negative şi pentru numere raţionale. La 18 ani construieşte primul calculator mecanic. A stabilit legea fundamentală a hidrostaticii (cunoscută acum ca „legea lui Pascal”).
4. René Descartes(1596 – 1650) matematician şi filozof francez. Este considerat părintele filozofiei moderne, celebru autor al nu mai puţin celebrei expresii „cogito ergo sum”. De asemenea este părintele geometriei analitice, el fiind acela care a introdus coordonatele carteziene (latinizat, numele său era Renatus Cartesius)
5. Gottfrie Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) matematician german, cunoscut drept   „ultimul geniu universal”, întemeietorul „iluminismului german”. A adus contribuţii deosebite, în afară de matematică,  în metafizică, epistemologie, logică, filozofia religiei, fizică, geologie, jurisprudenţă, istorie. Este cel care a introdus noţiunea de funcţie, şi totodată fondatorul calculului diferenţial şi integral, deci a analizei matematice.
6. Isaac Newton (1643 – 1727) matematician englez. Autor al lucrării Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687) lucrare care pune bazele mecanicii clasice, una dintre cele mai importante cărţi ştiinţifice scrise vreodată. Împreună cu Leibniz, este fondatorul calculului integral.
7. Carl Friedrich Gauss (1777 – 1856), matematician german, supranumit Mathematicorum Princeps, cel care a spus că „matematica este regina ştiinţelor”.  Este unul dintre cei mai prolifici oameni de ştiinţă,  şi în acelaţi timp profesorul unei pleiade întregi de matematicieni. Are contribuţii în teoria numerelor, statistică, analiză matematică, geometrie diferenţială, geodezie, electrostatică, astronomie, optică.
8. Felix Klein (1849 – 1925), matematician şi fizician german. A studiat geometriile neeuclidiene, teoria grupurilor, anliza funcţiilor de variabilă complexă.
9. Dan Barbilian (1895 – 1961) matematician român, cunoscut şi ca poet, Ion Barbu.
10. Bernhard Riemann (1826 – 1866) matematician german. Studiind una din temele date de profesorul său, Gauss, a  dezvoltat una dintre cele mai importante teorii – geometria neeuclidiană, geometrie ce-i poartă numele, geometrie riemanniană, care alături de teoria Bolyai-Lobacevscki au revoluţionat geometria clasică a lui Euclid (pornind de la ideea fundamentală a negării celebrului postulat)
11. Augustin-Luis Cauchy (1789 - 1857), matematician francez, pionier al analizei matematice. A definit continuitatea în termeni de analiză infinitezimală.
12. Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 – 1897), matematician german, supranumit „părintele” analizei moderne.

5/28/2012

PLEDOARIE PENTRU GEOMETRIE (1)




  

      Geometria s-a născut nu numai din "agrimensură", aşa cum se spune prea des de către profesorii care încep predarea geometriei elevilor mici, ci cu mult înainte, din nevoile de însuşire, descriere şi folosire a obiectelor şi fenomenelor naturii, în special pe calea vizualului, dar şi tactil şi motor.
      Esenţializând forme şi mişcări ale acestora, pământeşti şi cereşti, lumina şi umbra, ritmul, creşterea şi înmulţirea, viziunea umană însăşi, geometria s-a născut o dată cu cioplirea pietrei şi pictura rupestră. Şi s-a dezvoltat mai întâi prin făurirea de unelte şi obiecte tot mai eficiente, dar şi ornamentate plăcut. De asemenea prin reprezentarea tot mai veridică de relaţii spaţiale – demonstraţii de luptă şi vânătoare, cadrane solare, ritualuri, până la scriere. Totodată s-a dezvoltat prin construcţia tot mai adecvată a adăpostului, cu o geometrie de relaţii şi echivalenţe, deci de caracter topologic, deci o geometrie
calitativă. Se ajunge astfel şi la formele fundamentale geometrice: punct, dreaptă, plan, corespunzând unor forme ale naturii, dar şi la cerc, unghi, cruce, zigzag etc. Îmbinând numărarea - rezultat al clasificării în mulţimi a obiectelor de aceeaşi natură şi al ritmicităţii unor fenomene spaţiale sau temporale – cu precizarea geometrică a formelor obiectelor naturii sau forme create, se ajunge şi la măsurarea acestora, adică la o geometrie cantitativă. Sub acest din urmă aspect (cantitativ) se dezvoltă şi se practică geometria la babilonieni şi egipteni, deşi marile lor creaţii tehnice şi artistice, ornamentica şi scrierea lor, îl mărturisesc şi pe primul (calitativ).
      Dacă grecii secolului al VII-lea î. Hr. au numit geometrie ştiinţa egipteană a "măsurării pământului", ei au şi transformat-o într-o ştiinţă pură şi liberă, adică teoretic fundamentată şi larg difuzată. Devenind şi un mod de gândire, mereu conex sau implicat filozofiei, tehnicii şi artei, geometria greacă şi-a extins puterea de esenţializare asupra tuturor obiectelor şi fenomenelor naturii, odată cu puterea de demonstraţie în toate ştiinţele şi de aplicaţie în toate domeniile de creaţie. S-a remarcat că forma demonstraţiei geometrice, singura cunoscută de la vechii greci, era întrebuinţată în toate ramurile ştiinţei (regăsim astfel originile epistemologiei).
       Geometria greacă dezvoltă în continuare, dar simultan, bipolaritatea originară a calitativului şi cantitativului, prin personalităţi rămase celebre în istorie.
      
     Chemat de Papa Iuliu al II-lea să decoreze camerele apartamentului pontifical, Rafael Sanzio a creat capodopera Şcoala din Atena în care a reuşit să îmbine cerinţele papale – reflectarea Binelui, a Adevărului, a Frumosului şi a Înţelepciunii cu armonia  picturii (am examinat în una dintre postările anterioare cum a respectat Rafael principiul armonic în tablou) .


         Astfel, o geometrie a ordinii, a relaţiilor de poziţie, generată printr-o primă schematizare a luminii şi a simţului vederii, inaugurată de Thales din Milet (624 - 548 î. Hr.), care defineşte egalitatea, asemănarea, proporţiile şi care prin vizări măsoară distanţe între puncte inaccesibile (celebrele probleme de măsurare a distanţei dintre două obiective situate pe cele două maluri ale unui râu).
           De asemenea există o geometrie a măsurii, sau metrică, ce descrie relaţiile de mărime în aceeaşi suprafaţă plană sau spaţială, creată de Pitagora (cca 580 - 495 î. Hr.) - este adevărat, elev al lui Thales, dar care îşi face geometria operantă în aritmetică şi invers prin celebra expresie "numărul este totul". Cu ajutorul asemănării demonstrează vechea vechea şi empiric aplicata relaţie într-un triunghi dreptunghic, celebra teoremă care îi poartă numele, dar care îl conduce la numerele iraţionale √2 √3, √5. În şcoala sa se cunosc cele cinci poliedre regulate.
       Discipolii celor două şcoli propun probleme matematice şi în acelaşi timp filozofice precum: comensurabil – incomensurabil, finit – infinit, discontinuitate – continuitate.
       Democrit (460 - 370 î. Hr.) a reintrodus materia în figurile geometrice, definind astfel atomul, finit dar infinit mic, care generează atât varietatea materiei cît şi a formelor. El spune că: "nu există altceva decât atomi şi spaţiu gol, orice altceva este părere". Pe această cale el stabileşte arii şi volume, şi astronom ca şi Thales, s-a ocupat de propagarea luminii. Scrie primele lucrări de perspectivă.
       Platon (427 - 347 î. Hr.) consideră geometria neaparat necesară filozofilor şi preluând geometria lui Pitagora îşi îndrumă numeroşii discipoli spre geometria în spaţiu şi studiul poliedrelor regulate, el îsuşi punându-le în legătură cu forma atomilor celor patru elemente primordiale: pământ, apă, foc, aer şi chintesenţa lor –eterul. Singurele cinci poliedre regulate îi poartă numele - corpuri platonice.
        Aristotel (384 - 322 î. Hr.), cunoscător al geometriei şi fizicii, filozof prin excelenţă, stabileşte principiile construirii unui sistem deductiv pe bază de definiţii, axiome, ipoteze şi demonstraţii, dar rezolvă şi contradicţiile mai sus arătate, apărute la limita dintre matematică şi filozofie.
       Pe baza studiilor celor de mai sus, cele două geometrii îmbinându-se şi încorporând şi alte domenii, culminează în sec III î. Hr., la şcoala din Alexandria prin alte mari personalităţi.
        Euclid (330 – 275) sistematizează în Elementele, cu adausuri şi demonstraţii originale, geometria plană, proporţiile, numerele iraţionale şi stereometria, care include şi construcţia celor cinci poliedre regulate. Pentru acestea foloseşte (încă insuficient puse în evidenţă) dubla proiecţie şi perspectiva cavalieră de mai târziu.
     De altfel, în "Optica" sa, Euclid expune principiile perspectivei prin proiecţie conică (ceea ce la greci se numea scenografie, încă din timpul lui Eschil).
      Arhimede (287 – 212 î. Hr.) îmbină cele două geometrii cu o mecanică şi o fizică mai întâi experimentale, determină centre de greutate, calculează arii mărginite de curbe plane şi volume mărginite de suprafeţe (de exemplu paraboloidul) prefigurând astfel calculul integral. Defineşte spiralele care-i poartă numele, defineşte şi construieşte cele cinci poliedre regulate şi cele 13 poliedre semiregulate.
        Apollonius din Perga (262 - 200î. Hr.) descrie în lucrarea intitulată "Conice", mai întâi pe calea "geometriei ordinei" un prim exemplu de utilizare a unei forme spaţiale, conul, pentru determinarea prin secţiuni plane a conicelor, numite de el elipsă, hiperbolă, parabolă. Prefigurând astfel geometria proiectivă, Apollonius ajunge şi la relaţiile metrice în aceste curbe şi la o "geometrie analitică intrinsecă" a lor.
        Alexandria rămâne centrul ştiinţific al lumii romane. Mereu în contact cu Orientul, matematica greco-romană de aici descifrează şi defineşte teoretic vechile practici astronomice, constructive şi matematice, ajungând la noi şi mai precise aplicaţii.
        Ptolemeu (cca 87 – 165 d.Hr.), srălucitul astronom, dar şi optician şi geometru, care pune bazele trigonometriei sferice şi ale proiecţiei stereografice şi care emite o părere pertinentă asupra postulatului lui Euclid.
      Vitruviu (cca 60 î.Hr. - 10 d.Hr.), inginer militar, şi arhitect a scris pentru împăratul Augustus o lucrare intitulată "Despre arhitectură" şi care va avea o influenţă colosală asupra arhitecturii Renaşterii, prin teoria proporţiilor şi car, deasemeni, prefigurează pentru proiectare, geometria descriptivă.
        Heron (cca 10 – 70 d. Hr.), inginer şi matematician, dezvoltă în una dintre lucrările sale "Metrica" – o lucrare în trei părţi scrisă în arabă, calculul matematic pentru constructori, arhitecţi şi meşteşugari. Este preocupat, între altele, şi de mecanică –are numeroase invenţii practice, optică şi geodezie. Este, tot atât de celebru autor al "formulei lui Heron" de calcul a arie triunghiului.
       Pappus (cca 292 – 350 d.Hr.) defineşte secţiunile conice ca locuri geometrice plane şi, pe de altă parte, arată că raportul armonic este un invariant, făcând prin acestea un pas decisiv către geometria proiectivă.
          Diofant (cca 200 -298 D. Hr.) scrie "Arithmeticorum" care este de fapt algebră, el chiar fiind considerat părintele algebrei, dar nu fără interpretări geometrice.
         Proclus (410 – 485), ultimul mare filozof clasic, a condus în Atena o şcoală neoplatonică, în care se dezbăteau filozofia lui Platon "Elementele" lui Euclid, astronomia lui Ptolemeu, şi ajunge la o serie de generalizări în geometria metrică şi locurile geometrice.
        Bipolaritatea geometrie – a ordinei şi a măsurii – fecundă la greci până în secolul al V-lea d. Hr., stă la baza geometriei, deci şi a matematicii.

Note 
1Despre Thales circulă multe legende. Una dintre ele spune că fiind mereu distrat şi nepăsător la ce-i în jurul său, era considerat de mulţi dintre concetăţeni, un ratat. Le-a demonstrat că nu este aşa, când într-o iarnă a cumpărat toate teascurile de ulei de măsline din regiunea sa, deşi preţul măslinelor atunci era foarte mic. Fiind însă un bun astronom, prevăzuse, după mersul astrelor, că va urma un an prielnic acestei culturi, ceea ce s-a şi întâmplat, astfel că în toamna următoare a putut impune preţul uleiului de măsline, îmbogăţindu-se. Dovadă că poţi fi şi matematician (distrat!) dar şi un foarte bun om de afaceri.

2 Dintre multele panseuri ce i se atribuie lui Pitagora, unul mai puţin uzitat:: "Nu răspândiţi vestea unei fapte rele! Faceţi în aşa fel încât să-i dispară cât mai curând şi cele mai mici urme. Lăsaţi răul să se stingă de la sine."

 3 Democrit reprezintă pe de altă parte, o concepţie morală destul de înaltă, faţă de predecesorii săi, dar actual şi astăzi: "Este înţelept nu acel care e preocupat de ceea ce-i lipseşte, ci acel care se bucură de ceea ce are".
4 Elev al lui Socrate şi învăţător al lui Aristotel, este creatorul primei şcoli de învăţământ superior, Academia din Atena, care avea rolul de a forma, pe baze raţionale, oameni de stat. Şcoala i-a supravieţuit fondatorului ei, fiind închisă abia în 529 d. Hr.
5 A fost educatorul lui Alexandru cel Mare şi întemeietorul propriei sale şcoli, Lykeion, şcoală ce rivaliza cu Academia lui Platon

6 Elementele cuprinde 13 părţi: I – teorema lui Pitagora, II –geometria studiată cu ajutorul algebrei, III – cercul şi proprietăţile sale, IV – triunghiul şi poligoanele regulate înscrise în cerc, V – proporţii, VI – teorema lui Thales şi figurile asemenea, VII – teoria numerelor, VIII – algoritmul lui Euclid, IX – infinitatea numerelor prime, X – numere iraţionale (incomensurabile), XI – perpendicularitate, paralelism, XII – con, cilindru, sferă, XIII – secţiunea de aur şi poliedrele regulate.

 7 Este autorului celebrului "principiu al lui Arhimede" privind corpurile scufundate într-un lichid.
Pe piatra funerară a lui Arhimede a fost inscripţionat, la cererea sa, un desen reprezentând o sferă înscrisă într-un cilindru. Arhimede arătase că raportul dintre aria sferei şi aria totală a cilindrului este egal cu raportul volumelor celor două corpuri şi este egal cu 2/3.

8 Klaudios Ptolemaios este autorul concepţiei "geocentriste" potrivit căreia Pământul stă fix în centrul Universului şi toate celelate corpuri cereşti (Soarele, Luna, planetele, stelele) se rotesc pe traiectorii absolut circulare în jurul său. Tot el este autorul primei hărţi a Daciei, pe care sunt fixate coordonatele a cel puţin 50 de localităţi (dave) geto-dacice.



Bibliografie

Adrian Gheorghiu – "Proporţii şi trasee geometrice în arhitectură", Ed. Tehnică, 1991

 

5/25/2012

CATEDRALE GOTICE (4)


            Am încercat prin postările anterioare să descriu principalele caracteristici ale arhitecturii gotice. 
            Cele mai importante construcţii gotice sunt catedralele. Există, bineînţeles, şi construcţii laice în stil gotic, dar perfecţiunea şi măreţia sunt atinse în construcţia catedralelor.
            Toţi cei care lucrau la înălţarea unei catedrale gotice (meşterii şi arhitecţii, pietrarii, zidarii, sculptorii) se organizau în bresle, devenite adevărate corporaţii. Ei călătoreau prin toată Europa pentru câte o nouă construcţie. Aceste bresle de zidari sunt la originea asociaţiilor masonilor, acele confrerii cu reguli stricte, secrete bine păstrate ale planurilor, ale metodelor, ale sculelor şi uneltelor de lucru. Secretizarea aceasta absolută este păstrată şi de francmasonii actuali (care evident nu mai sunt zidari!).
            O catedrală gotică este caracterizată prin:
-       planul  clădirii este cel de cruce latină (romană);
-       dimensiunile sunt mari;
-       zidurile sunt subţiri şi înalte;
-       ele sunt sprijinite în exterior de contraforturi şi arce butante;
-       interiorul este împărţit, de obicei, în trei nave longitudinale, delimitate prin şiruri de coloane subţiri;
-       bolta ogivală (două arce diagonale de susţinere încrucişate  în punctul cheii de boltă); în multe cazuri bolta devine o boltă cu nervuri, o adevărată dantelă în piatră,
-       ferestrele sunt înalte, având vitralii multicolore care înfăţişează atât aspecte biblice, cât şi evenimente din istoria locală sau momente ale ridicării catedralei;
-       rozetele  situate frontoane sau la capetele ferestrelor, ornamentate spectaculos;
-       sculptura monumentală îmbogăţeşte mai ales portalurile cât şi  faţadele dar şi interiorul catedralei;
-       pictura este reprezentată mai puţin, iar atunci când există, poartă semnătura unor maeştri universali.
            Imaginile selectate exemplifică aceste caracteristici.