5/30/2012

PLEDOARIE PENTRU GEOMETRIE (2)



 
    Bipolaritatea geometriei – a ordinei şi a măsurii – dezvoltată de greci până în secolul al V-lea d. Hr., stă la baza întregii evoluţii a geometriei, deci şi a matematicii.
    Aparent întreruptă, deplasată în Orient şi reîntoarsă în Europa medievală, sau implicată în alte domenii de gândire şi creaţie, geometria îşi reflectă noţiunile şi metodele prin astronomie, fizică şi chimie, prin construcţii şi artă, îmbogăţindu-se ea însăşi cu noi domenii.
    Geometria catedralelor gotice este rezultatul unei combinaţii între o geometrie metrică-mecanică a structurilor subţiri de piatră şi o geometrie a proporţiilor şi a simetriilor, a luminii şi a culorii. Prima conduce la stereotomie, iar aceasta la geometria descriptivă, pe când cea de-a doua se constituie treptat într-o geometrie a artei şi a simbolicii.
    Geometria greacă se redescoperă o dată cu Renaşterea italiană şi devine utilă într-o bipolaritate. O geometrie a artei – deci a ordinei, şi o geometrie a mecanicii, care se întrunesc într-o geometrie a construcţiei. Iar geometria artei include o redescoperire remarcabilă: perspectiva. Grecii antici o considerau, sub numele de scenografie, o ramură a opticii utilizând-o mai ales în decorurile de teatru. Romanii o foloseau în construcţii (de exemplu Bruneleschi) şi în pictură (Leonardo da Vinci). Din Italia, perspectiva trece în Franţa unde Desargue şi Pascal o transformă într-un instrument de investigaţie de geometrie pură ca proiecţie conică, fiind o continuare a geometriei lui Apollonius. În acelaşi timp, geometria măsurii devine prin Descartes, prin îmbinare cu algebra, geometrie analitică.
    Dar o anumită geometrie a măsurii a lui Arhimede devine acum geometrie diferenţială prin Leibniz şi Newton cu aplicaţie în dinamică şi apoi prin Gauss, în studiul local al suprafeţelor.
    Mai amintim dezvoltările reciproce ale cristalografiei şi a geometriei grupurilor finite, ale geometriei descriptive şi ale topografiei.
    Astfel se ajunge ca în secolul al XIX-lea să se acumuleze creaţii de forme şi structuri geometrice, descoperiri de proprietăţi, operaţii şi transformări geometrice şi, odată cu critica fundamentelor geometriei, diversificări ale acesteia, prin metode (analitică, pură şi sintetică, descriptivă), prin tipuri de proprietăţi (metrică, afină, proiectivă, topologică), prin număr de dimensiuni (hiperspaţii), prin tipuri de structuri spaţiale (euclidiane, neeuclidiene, topologice, abstracte, etc).
    Iar în anul 1872 apare celebrul "Program de la Erlangen" al lui Felix Klein, ca o nouă şi mai generală fundamentare a geometriei – prin noţiunea de grup de transformări care lasă invariante anumite proprietăţi, şi prin care geometria lui Euclid, a deplasărilor fără deformare, constituie "grupul principal". Această magistrală sistematizare, a doua după cea a lui Euclid, prin generalizările şi conexiunile posibile între toate domeniile matematicii, a făcut posibile dezvoltările ulterioare până la geometria spaţiu-timp-materie a lui Einstein.
    Dan Barbilian considera că esenţa matematicii nu este calculul ci " o lume de concepte, abstracţiuni ale unor date directe ale experienţei", adică tocmai esenţializările obiectelor şi fenomenelor naturii. Iar "tratarea realistă a acestora o constituie nu dezvoltările algoritmice, ci combinarea logică a axiomelor". Şi dă un exemplu: "stăpânirea completă a a funcţiilor de variabilă complexă este dată nu de integrale sau serii de puteri, ci tratamentul axiomatic al lui Riemann". Mai în detaliu, prima reprezentare a lui Cauchy este de sinteză, în "spirit geometric", a doua, a lui Weierstrass, în "spirit analitic", dar a lui Riemann este intuitiv-geometrică prin identificarea respectivelor funcţii cu un tip de suprafeţe, care de altfel, îi şi poartă numele - "suprafeţe Riemann".
    Mai departe, prin generalizarea şi aprofundarea unor capitole limitrofe de geometrie şi analiză (topologie), de aritmetică şi analiză (teoria mulţimilor), matematica a pătruns în domenii aleatoare ale formelor şi fenomenelor întâmplătoare, imprecise, ajungând a stabili legi ale hazardului sau ale posibilului şi a le modela algoritmic.

Note
1. Filippo Brunelleschi (1377 – 1446), inginer, arhitect, sculptor din Florenţa. Este unul dintre cei mai de seamă arhitecţi ai renaşterii italiene, contrucţiile ale căror proiecte îi aparţin sunt admirate şi astăzi.
2. Gérard Desargue (1591 - 1661), matematician francez. A lucrat ca inginer arhitect şi consultant tehnic  a lui Richelieu, ocazie cu care a proiectat mai multe clădiri publice sau private în Paris şi Lyon.
3. Blaise Pascal (1623 – 1662)matematician, fizician şi filozof francez. La 16 ani găseşte legaturile între coeficienţii binomiali – triunghiul lui Pascal, fapt ce-l determină pe Newton să generalizeze formula binomului ce-i poartă numele şi pentru numere întregi negative şi pentru numere raţionale. La 18 ani construieşte primul calculator mecanic. A stabilit legea fundamentală a hidrostaticii (cunoscută acum ca „legea lui Pascal”).
4. René Descartes(1596 – 1650) matematician şi filozof francez. Este considerat părintele filozofiei moderne, celebru autor al nu mai puţin celebrei expresii „cogito ergo sum”. De asemenea este părintele geometriei analitice, el fiind acela care a introdus coordonatele carteziene (latinizat, numele său era Renatus Cartesius)
5. Gottfrie Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) matematician german, cunoscut drept   „ultimul geniu universal”, întemeietorul „iluminismului german”. A adus contribuţii deosebite, în afară de matematică,  în metafizică, epistemologie, logică, filozofia religiei, fizică, geologie, jurisprudenţă, istorie. Este cel care a introdus noţiunea de funcţie, şi totodată fondatorul calculului diferenţial şi integral, deci a analizei matematice.
6. Isaac Newton (1643 – 1727) matematician englez. Autor al lucrării Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687) lucrare care pune bazele mecanicii clasice, una dintre cele mai importante cărţi ştiinţifice scrise vreodată. Împreună cu Leibniz, este fondatorul calculului integral.
7. Carl Friedrich Gauss (1777 – 1856), matematician german, supranumit Mathematicorum Princeps, cel care a spus că „matematica este regina ştiinţelor”.  Este unul dintre cei mai prolifici oameni de ştiinţă,  şi în acelaţi timp profesorul unei pleiade întregi de matematicieni. Are contribuţii în teoria numerelor, statistică, analiză matematică, geometrie diferenţială, geodezie, electrostatică, astronomie, optică.
8. Felix Klein (1849 – 1925), matematician şi fizician german. A studiat geometriile neeuclidiene, teoria grupurilor, anliza funcţiilor de variabilă complexă.
9. Dan Barbilian (1895 – 1961) matematician român, cunoscut şi ca poet, Ion Barbu.
10. Bernhard Riemann (1826 – 1866) matematician german. Studiind una din temele date de profesorul său, Gauss, a  dezvoltat una dintre cele mai importante teorii – geometria neeuclidiană, geometrie ce-i poartă numele, geometrie riemanniană, care alături de teoria Bolyai-Lobacevscki au revoluţionat geometria clasică a lui Euclid (pornind de la ideea fundamentală a negării celebrului postulat)
11. Augustin-Luis Cauchy (1789 - 1857), matematician francez, pionier al analizei matematice. A definit continuitatea în termeni de analiză infinitezimală.
12. Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 – 1897), matematician german, supranumit „părintele” analizei moderne.

Un comentariu: