1/25/2012

Numărul de aur – 1. poligoane de aur




    Noţiuni atât de tentant denumite ca număr de aur, tăietură de aur, secţiune de aur, dreptunghi de aur, proporţie divină, au fost folosite de veacuri. Însăşi Euclid defineşte raportul ca fiind "relaţia calitativă în ceea ce priveşte dimensiunea dintre două mărimi omogene, iar proporţia (analogia) reprezintă echivalenţa a două rapoarte ". Ceea ce, algebric înseamnă 
              
Dacă b=c,  proporţia se numeşte "continuă" sau b este medie proporţională (geometrică) între a şi d, iar dacă, c=a+b, obţinem 
 


proporţia cunoscută sub numele de secţiune de aur. Această proporţie a fost botezată proporţie divină de către călugărul bolognez Fra Luca Pacioli di Borgo, care i-a consacrat în 1509 un tratat ilustrat de către amicul său Leonardo da Vinci, dar impresionase şi stârnise curiozităţi încă din antichitate (constructorii piramidelor egiptene, Pitagora, Vitruvius)
              Pentru ca un întreg împărţit în două părţi inegale să pară frumos, trebuie ca între partea mai mică şi cea mai mare să existe acelaşi raport ca între partea mare şi întreg. Să presupunem că întregul este un segment AB. Se spune că punctul C ales astfel încât
,
 împarte segmentul AB în medie şi extremă raţie (denumire dată de Euclid) , sau în tăietură de aur.

Egalitatea de mai sus înseamnă
 ,
cu soluţia pozitivă
           Acest număr este celebrul număr de aur, notat cu litera grecească phi , după iniţiala numelui sculptorului grec, Phidias. Inversul valorii absolute a soluţiei negative este
               Valoarea sa aproximativă este 1,618…
           Dreptunghiul de aur este dreptunghiul ale cărui laturi se află în acela şi raport. Dintre mai multe dreptunghiuri, cel mai "frumos" este acela ale cărui laturi se află în acest raport (aşa cum cred majoritatea oamenilor, nu vorbim de excentricităţi, ci de majoritate).
    
           Evident, este vorba despre primul dreptunghi.
          Construcţia sa corectă, (este imposibil de "măsurat" rădăcina pătrată din 5, numărul iraţional 2,2360679….), corectă însemnând doar cu linia negradată şi compasul, este următoarea :
            Se consideră un segment de lungime AB = a, în B construim o perpendiculară pe segmentul dat pe care luăm BC de lungime egală cu jumătatea lui AB. Construim arcul de cerc cu centrul în C şi de rază AC, care va tăia perpendiculara în D. Atunci
Iar dreptunghiul cu laturile AB şi BD, este dreptunghiul de aur

        Rombul de aur este rombul ale cărei diagonale se află în acest raport.
        Pentagonul de aur este pentagonul regulat care are raportul dintre diagonală şi latură în raportul de aur
Mai mult, o diagonală, să spunem IG, este împărţită de alta, fie ea HF, în secţiune de aur,
          Asupra pentagonuli voi reveni.
           Triunghiul de aur este triunghiul isoscel cu înălţimea relativă la bază egală cu lungimea bazei (întâlnit la Marea Piramidă).
Alte caracterizări :
    - linia mijlocie a unui triunghi echilateral înscris într-un cerc, determină o tăietură de aur :


             - Un pătrat de arie maximă înscris într-un semicerc determină pe diametru aceeaşi secţiune de aur.
     Mai întâi se poate afla că pătratul de arie maximă înscris într-un semicerc de rază R, are latura 
şi în aceste condiţii avem 
 
    



    

4 comentarii:

  1. RAPORTUL ARMONIEI , a cărui valoare se notează cu φ ( = 1,618)
    ..............................................................................................................
    a apărut .. petru că .. artiștii .. și .. arhitecții antichității .. au aplicat
    ........................................................................................................

    Principiul similitudinii .. și .. Principiul alianței și armoniei cu natura
    ..........................................................................................................

    Multiplicările .. distanțelor dintre perechi de reperele ale corpului faraonului .. sunt similare .. (= sunt .. de același număr de ori).

    Reperele folosite sunt:
    nivelul buricului, .. nivelul tălpilor .. și .. nivelul vârfului capului.

    Multiplicările .. distanțelor .. dintre perechi de reperele ale corpului faraonului s-au făcut ..
    pentru a se obține .. echerele armoniei .. pentru a se obține piramida
    .............................................................................................................

    RăspundețiȘtergere
  2. Mulțumesc mult doamna profesoară Simina

    Pentru dezvoltarea cretivității elevilor .. aș vrea să prezentăm .. principii filizofice .. care au făcut să fie posibile ..

    șiruri de acțiuni ..
    spre descoperirea matematicii .. în orice parte a realității.

    RăspundețiȘtergere
  3. ECHERELE ARMONIEI .. ȘI .. RAPORTUL .. SAU .. PROPORȚIA DE AUR

    RAPORTUL ARMONIEI .. CU .. NATURA

    Echerele armoniei ar fi putut să existe pe vremea construcțiilor piramidelor egiptene.

    Una dintre catetele .. unui echer al armoniei .. ar fi putut avea lungimea egală cu distanța dintre nivelul buricul .. și .. nivelul vârfului capului faraonului.

    Lungimea ipotenuzei .. unui echer al armoniei .. ar fi putut fi egală cu .. distanța dintre .. buricul .. și .. nivelul tălpilor faraonului.

    RAPORTUL .. SAU .. PROPORȚIA DE AUR

    Raportul dintre lungimea corpului faraonului .. și .. distanța dintre nivelul buricul și nivelul tălpilor acestuia .. este egal cu φ = 1,618 ..

    În mod similar .. raportul dintre .. distanța dintre nivelul buricul și nivelul tălpilor .. și distanța dintre .. nivelul buricului și .. nivelul vârfului capului .. faraonului este egal cu φ

    Raportul respectiv .. se numește .. raportul sau proporția de aur ..
    dar
    s-ar putea numi și .. RAPORTUL ARMONIEI CU NATURA

    RăspundețiȘtergere
  4. Principiul Similitudinii .. pentru .. Armonia Formelor .. în Arhitectură
    ...........................................................................................................

    Enunț: Deoarece natura respectă raportul de aur .. construcțiile durabile .. trebuie să respecte acel raport .. deci trebuie să fie similare cu construcțiile naturii.

    Se observă .. cerința de alianță (armonie) cu natura .. respectată de constructorii piramidelor.

    Respectarea principiului similitudinii .. în construcții .. înseamnă folosirea raportului armoniei din natură (φ = 1,618 ..) în proiectarea construcțiilor.

    Demonstrația faptului că vechii egipteni au folosit principiul similitudinii când au construit piramidele .. este faptul că ..

    raportul dintre lungimea apotemei piramidei și lungimea apotemei bazei piramidei
    este φ.

    φ este valoarea obținută prin împărțirea distanței dintre nivelul buricului și cel al tălpilor faraonului la distanța dintre nivelul buricului și vârful capului faraonului

    RăspundețiȘtergere