Numerele Fibonacci

    Leonardo Pisano Fibonacci s-a născut în Italia, la Pisa, probabil în 1170, dar a crescut în nordul Africii la Bugia (astăzi, Bejaia) pe ţărmul mediteranean al Algeriei, unde tatăl său a fost reprezentant comercial al Republicii Pisa. Acesta şi-a dat seamă că fiul său are reale capacităţi intelectuale şi l-a înscris la şcoala comercială. Chiar în timp ce-şi desăvârşea studiile, a avut posibilitatea să lucreze lângă tatăl său la verificarea registrelor economice ale comercianţilor, şi acăpătat şi o bogată experienţă. Mai mult, cum ştim că arabii foloseau sistemul de calcul cu cifrele arabe, Fibonacci a fost impresionat de utilizarea acestora de către comercianţii din Orientul Mijlociu. Pentru a înţelege mai bine sistemul a călătorit în aproape toate ţările mediteraneene.

    Şi-a încheiat călătoriile în jurul anului 1200 şi s-a întors la Pisa unde a scris câteva cărţi care au jucat un rol deosebit în revigorarea matematicii antice după care se studia pe atunci. S-au păstrat puţine copii ale cărţilor scrise de al, având în vedere că nu apăruse încă tiparul, aşa că singura posibilitate de a le face să circule era să fie copiate de mână, ceea ce era destul de dificil. La biblioteca naţională din Florenţa există copii ale cîtorva din lucrările sale : Liber abaci (1202), GeometriePractica (1220) Flos (1225) şi Quadratorum Liber. Ştim că a mai scris, de exemplu, un comenratiu la Elementele lui Euclid, dar din păcate, acesta s-a pierdut. Este celebră susţinerea de care s-a bucurat din partea lui Frederic al II-lea al Germaniei. Savanţii curţii imperiale corespondau cu Fibonacci, şi l-a sfatul acestora, împăratul l-a şi vizitat în 1225. Era o modă a timpului, ca savanţilor să le fie expuse diferite probleme dificile pe care aceştia să le rezolve. Astfel, Fibonacci a fost solicitat să rezolve următoarea problemă: care este numărul al cărui pătrat mărit sau micşorat cu 5 rămâne tot un pătrat. Nu au rămas indicii despre felul în care a raţionat Fibonacci, dar a dat soluţia (atenţie, nu este obligatoriu vorba despre numere naturale) :

        În 1228 "seriosul şi învăţatul Leonardo Bigallo" (comerciantul, supranumele moştenit de la tatăl său) primeşte o recompensă din partea Republicii din Pisa, sub forma unui salariu, drept recunoştinţă pentru serviciile aduse oraşului, sfaturile despre contabilitate şi învăţăturile date oamenilor din oraş.

    Liber abaci, scrisă după ce s-a întors în Italia, cuprinde cunoştinţele pe care le-a acumulat în călătoriile sale, şi a introdus pentru prima dată în Europa cifrele indo-arabe. Dar în partea a treia a cărţii el dă celebra problemă a reproducerii iepurilor, problemă care a condus la şirul care-i poartă numele: şirul lui Fibonacci. "Un om a adus într-o curte închisă o pereche de iepuri. Ştiind că după o lună de la naştere fiecare pereche are câte un alt pui, câte perechi sunt după un an de zile ?"

    Să notăm numărul de perechi de pui din cea de n-a lună cu f(n). Atunci în luna f(n+1) vor fi cei f(n) din luna precedentă şi încă cei nou născuţi. Cum iepurii se nasc din perechi de iepuri mai mari de o lună, cei nou născuţi vor fi f(n-1). 



     Lăsând la o parte faptul că problema pare o poveste ireală sau chiar naivă, vom vedea că de fapt este vorba despre un şir cu multe exemplificări din natură, fapt pentru care s-a numit, şirul creşterilor organice, dar implicaţiile sale în artă sau arhitectură sunt covârşitoare.

    Şirul de numere obţinut  1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …. Poartă numele de şirul lui Fibonacci, şi orice alte şiruri în care un termen este suma celor doi precedenţi, este de acelaşi tip.

    S-au scris mii de pagini despre acest şir, care realmente au încântat şi fascinează încă. Şi cum nu, când se vede că şirul rapoartelor a doi termeni consecutivi  este convergent la numărul de aur

 

       Sau, altfel spus ecuaţia caracteristică a formulei de recurenţă de mai sus, este ecuaţia



,

cu soluţiile , 



astfel că termenul general al şirului poate fi scris 



    Alte câteva proprietăţi:

             Evident, acestea nu sunt singurele proprietăţi. Există o sumedenie de relaţii între termenii şirului, între limita sa şi numărul pi, între numărul de aur şi logaritmul său natural, între numărul de aur şi valorile funcţiilor trigonometrice ale unghiului de 72 de grade (unghiul la centru al pentagonului regulat).

              Iată de exemplu şi o legătură între numerele lui Fibonacci şi triunghiul lui Pascal: