2/21/2013


MATEMATICA ISLAMULUI  DE AUR



 

3. Thâbit  Ben  Q’ra

 (Thâbit  ibn  Korrah (836-901)




Pe numele sau întreg Al - Sabi Thabit ibn Qurra al- Harrani a fost un celebru învăţat al vremurilor Islamului de Aur, născut în Harran (Turcia de astăzi), provenind dintr-o familie membră a unei secte, aşa numită a sabienilor – de unde şi particula Al – Sabi din numele său, membrii acesteia fiind „închinători” la stele. Aceasta şi explică de ce membrii acestei secte care adorau stelele aveau motivaţia studierii acestora precum şi a fenomenelor astronomice. În plus erau buni vorbitori de limbă greacă. Thabit provenea dintr-o familie de vază şi în acelaşi timp bogată a comunităţii şi a primit o educaţie aleasă. Un Mecena al timpului,  Muhhamad ibn Musa ibn Shakir, vizitând Harranul a aflat despre uluitoarele cunoştinţe de limbă greacă ale tânărului Thâbit, şi remarcând-u-i şi abilităţile de raţionament l-a invitat la Bagdad pentru a studia matematica. Aici el a dobândit vaste cunoştinţe de matematică dar şi de medicină (mai toţi înţelepţii acelei vremi erau medici deosebiţi) şi astronomie.
Aşa de exemplu a studiat aritmetica lui Nicomacus[1], geometria lui Euclid,  şi cea a lui Menelaus, dar a rămas celebru în special pentru traducerea operei lui Ptolemeu „Almageste”
Matematica şi-a însuşit-o citind lucrările în limba greacă ale lui Arhimede, Euclid, Appolonius, Ptolemeu, Pitagora. Fără contribuţia arabă aceste opere fundamentale ale ştiinţei s-ar fi pierdut deoarece nu s-au păstrat lucrările originale ci doar traducerile în arabă ale acestora. Deosebit este faptul că lucrările fiind  traduse de specialişti  nu sunt simple reproduceri ale textelor originale ci sunt adnotate, explicate, exemplificate. Mai mult, el are contribuţii personale extrem de importante. Şi fiul şi nepotul său au fost buni cunoscători ai matematicii însă nu au ajuns la valoarea sa.
Thâbit Ben Q’ra s-a ocupat de studiul conicelor lui Appolonius[2], sfera lui Eutocius[3], precum şi alte numeroase lucrări greceşti de astronomie şi geometrie.
Ca astronom el a observat şi studiat un număr de 1022 de stele pentru care a stabilit coordonatele eliptice şi pe care le-a clasificat după magnitudine, constelaţii, etc.
O preocupare meritorie a lui Thâbit a constituit-o studiul numerelor, mai ales a numerelor perfecte şi a numerelor prietene[4]. Numerele perfecte sunt numere egale cu suma divizorilor lor proprii, iar numerele prietene sunt perechi de numere cu proprietatea că unul este egal cu suma divizorilor celuilalt. El a enunţat următoarea afirmaţie: dacă a,b,c sunt numere prime de forma 
 atunci numerele 
sunt numere prietene.
Aşa este cazul numerelor 220 şi 284. Mulţimea divizorilor lui 220 este
(excludem numărul însuşi) iar cea a lui 284 este 
Avem că: 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     Se vede însă că aceste condiţii sunt suficiente dar nu şi necesare. Aşa de exemplu numerele 1184 şi 1210, sunt numere prietene căci:
 dar nu se respectă cerinţa formei numerelor.
Iată şi alte perechi de numere prietene: 
Numerele de forma 
 se numesc  „numere Thâbit”.
Calculatoarele din zilele noastre au enumerat o sumedenie de astfel de numere obţinute pentru
Pentru valorile lui n din această mulţime numerele a scrise în baza 2, au o formă particulară deosebită verificată pentru enorm de multe numere.


            O altă procupare a lui Thâbit ibn Qurra, geometria plană, l-a determinat să găsească noi demonstraţii pentru teorema lui Pitagora.
Iată una dintre acestea. Se construiesc pe laturile triunghiului dreptunghic  ABC, pătratele AHMC, AGEB, BCLD (de aceeaşi parte a lui BC. Notăm cu F intersecţia prelungirilor laturilor HM şi DL. Este uşor de verificat că triunghiurile următoare sunt egale:
Pe de o parte avem că 
iar pe de alta 
Le egalăm şi găsim
,
 care este teorema lui Pitagora pentru triunghiul ABC.



Fin cunoscător al geometriei, Thâbit ibn Qurra a găsit o construcţie ingenioasă pentru heptagonul regulat înscris în cerc, ceea ce nu este la îndemâna oricui.
Aţi văzut insigna din pieptul vreunui şerif din filmele western. O insignă originală  este un poligon regulat stelat cu şapte vârfuri. Sigur că este acum uşor de construit folosind un raportor (deşi împărţirea la 7 presupune o oarece aproximare). Idealul este să construieşti folosind doar un compas şi o riglă negradată, ceea ce Thâbit ibn Qurra a reuşit.




[1] Nicomachus -  tatăl lui Aristotel.
[2] Apollonius din Perga (262-190 î.Hr) – geometru şi astronom, este considerat al treilea şi ultimul mare matematician din perioada elenistică alături de Arhimede şi Euclid. În opera sa fundamentală care se numeşte Koniká,  el utilizează pentru prima oară noţiunile de elipsă, hiperbolă şi parabolă.
[3] Eutocius – matematician grec din secolul al VI-lea.
[4] Denumirea de numere prietene a fost dată de Pitagora. Se spune că întrebat „cum ar trebui să fie doi prieteni” acesta ar fi răspuns „să fie unul pentru celălalt ca numerele 220 şi 284”

2/16/2013


MATEMATICA ISLAMULUI DE AUR



 2. Al Khwarizmi (Muhammad ibn Musa al Khwarizmi,  780-850)



Muhammad ibn Musa Al- Khwarizmi, sau simplu,  Al Khwarizmi, este fără îndoială primul mare matematician arab şi în acelaşi timp şi cel mai cunoscut şi îşi merită cu prisosinţă celebritatea  ca „părinte al algebrei”. După nume s-ar părea că el sau strămoşii săi ar fi originari din Khwarizm, undeva în sudul mării Aral.  În acea regiune la Khiva, Uzbekistan se află o statuie modernă a lui Al – Khwarizmi, lucru în esenţă deosebit, ştiut fiind că în conformitate cu normele Coranului niciunde nu pot apărea picturi sau statui înfăţişând animale sau chipuri de oameni.
A trăit în Bagdad în timpul înfloritoarei dinastii abbaside, şi anume chiar în timpul marelui Harun al Rashid şi al fiului acestuia, Al Mamun. Cum aceştia stăpâneau ţinuturile de la marea Mediterană până în India, Casa înţelepciunii fondată de Al Mamun concentra înţelepţi din toată această lume, biblioteca imensă adunase mii de lucrări pe care le traduceau în şi din arabă, la Observatorul astronomic lucrau savanţi din tot orientul.
Al Khwarizmi a scris aici celebrele sale lucrări, exlusiv în arabă,  două dintre ele fiind dedicate suveranului Al Mamun (cea de algebră şi cea de astronomie)
Al Khwarizmi este cel care  a introdus în studiile sale o mare parte din cunoştinţele matematice ale Indiei (a studiat lucrările lui Brahmagupta). A fost totodată un bun cunoscător al lucrărilor lui Ptolemeu[1], în epocă studiindu-se Almagest, lucrarea de căpătâi a acestuia.
  El a scris un tratat, care nu s-a păstrat, dar care este cunoscut prin traducerea sa în latină, în care expune sistemul zecimal indian, metodele de calcul în acest sistem (adunarea, scăderea, înmulţirea), fracţiile, rădăcina pătrată. Pe de o parte el a dat arabilor cunoştinţele indiene, dar se poate spune că a dat occidentalilor cunoştinţele arabe,  prin intermediul traducerilor în latină. Acestea nu au apărut decât în secolul al XIII-lea sub titlul semnificativ Dixit Algorezmi (Al Khwarizmi a spus că…) sau în altă traducere De numero indorum, sau Liber Alchoresmi. Acest nou sistem de calcul a fost desemnat de europeni cu numele de algoritm, în onoarea autorului.
 A avut preocupări în domeniul opticii şi a scris despre natura luminii. A coordonat  şi scrierea unei cărţi de geografie, Kitab –Surat Al- Ard, şi se spune că pentru aceasta a avut în subordinea sa 70 de geografi. Cartea conţine coordonatele a 2402 oraşe.  Astăzi se mai păstrează un singur exemplar în arabă la Biblioteca Universităţii din Strasbourg şi unul în latină la Biblioteca Naţională din Madrid.
Al Khwarizmi este celebru şi printr-un tratat asupra ecuaţiei de gradul al II-lea. Acestea erau cunoscute de babilonieni, iar metode de rezolvare a unor cazuri particulare erau date de Euclid, dar Al Khwarizmi a elaborat primul, o clasificare a ecuaţiilor de gradul al II-lea, dovedind o viziune globală asupra problemei. El nu utilizează nici o notaţie literală, folosind pentru necunoscută termenul rădăcină. Rezolvarea se face nu prin calcul algebric, ci prin construcţii geometrice, în stil euclidian. Lucrarea, considerată pe drept cuvânt, cea mai bună carte de algebră a timpului,  se intitulează Kitâb al-jabr wa al-muqâbalah  şi a fost tradusă în latină sub titlul Algebra. Astfel este justificată originea unuia dintre cele mai importante cuvinte din matematică. Sunt interesante titlurile celor patru capitole ale cărţii: Soluţiile ecuaţiilor, Calculul dobânzilor, Geometria, şi Algebra testamentară.

 Succesorii săi arabi au studiat de asemenea ecuaţia de gradul al II-lea, ba chiar şi de grad mai mare (vezi Omar Khayyam) fără însă a le generaliza. Abia în timpul renaşterii, Cardan a dat soluţiile ecuaţiei algebrice de gradul al III-lea.
Pentru a-şi susţine calculele Al Khwarizmi a justificat mai întâi câteva formule, care astăzi sunt elementare, dar care în acele vremuri erau chiar şi pentru iniţiaţi adevărate pietre de încercare. El a dat  demonstraţiile geometrice ale acestor formule, aşa cum era încetăţenit de la Euclid.
Astfel el a demonstrat că:

Desenele sunt sugestive.

  
Al Khwarizmi a enunţat regulile algebrice ale rezolvării ecuaţiei de gradul al II-lea având una dintre formele: 
            
adică pătratul rădăcinii este egal cu un număr, pătratul rădăcinii este un multiplu al său,  pătratul rădăcinii adunat cu un multiplu al său dau un altnumăr,  pătratul rădăcinii este egal cu un multiplu al său plus un număr, şi  pătratul rădăcinii adunat cu un număr dau un multiplu al său.


Încă sub influenţa matematicii antice greceşti, arabii nu utilizau numere negative, ceea ce explică diferitele cazuri studiate. Pentru o scădere (adică un termen negativ) Al Khwarizmi a stabilit regulile trecerii termenilor dintr-un membru în altul al ecuaţiei. Nici nu se punea problema unei soluţii negative.
Rezolvarea dată de el semăna cu ceea ce astăzi numim trecerea polinomului de gradul al II-lea la forma canonică:

Evident nu se foloseau fracţiile! Însă totul era explicat mai pe larg cu ajutorul figurilor geometrice. Pătratul mare de latură x+2a/4 este format din patru pătrate de latură a/4, patru dreptunghiuri de laturi x şi a/4 şi un pătrat de latură x.
Aşa de exemplu ecuaţia

se scrie:

Încă odată spunem că nu se punea problema soluţiilor negative.
 În acelaşi mod Al Khwarizmi a rezolvat ecuaţiile
Iată cum a făcut rezolvarea ecuaţiei
.
 Se construieşte un pătrat cu latura x, apoi se adaugă acestuia pe laturi în exterior patru dreptunghiuri de laturi x şi respectiv 5/2 şi la final patru pătrate de latură 5/2. În final avem un pătrat cu latura 8, sau,


Mai mult,  Al Khwarizmi s-a ocupat de construcţii geometrice, aşa cum rezultă din următoarea problemă: se dă un triunghi cu laturile 10,10,20 şi în interiorul său se înscrie un pătrat astfel încât două din vârfuri să fie pe o  bază iar celelalte două pe câte una din celelalte două laturi. Cât este  latura pătratului?.
Este uşor de sesizat că triunghiul BED  este asemenea cu triunghiul BAM.

Aşa cum se obişnuia în acel timp, din textul  paginii de manuscris se vede că explicaţia este dată în cuvinte, nu în relaţii matematice. Aceasta este chiar o dovadă a faptului că Elementele lui Euclid îi erau cunoscute.

          
          Chiar dacă nu are „spiritul” euclidian (nu dă nici o definiţie, nici o axiomă, nici vreo demonstraţie de genul euclidian), originalitatea concepţiei şi  profunzimea remarcabilă de care dă dovadă îl fac să bine-merite numele de „părintele algebrei”.

 

 





[1] Klaudios Ptolemeu, matematician, astronom şi geograf grec, a trăit la Alexandria, în Egipt, între anii 87-165 d.Hr. În afară de cartea de matematică „Matematike syntaxis” care este o contribuţie esenţială la dezvoltarea trigonometriei, Ptolemeu este celebrul autor al teoriei geocentrice a universului - Pământul este fix şi este situat în centrul Universului iar Soarele, Luna  şi stelele se învârt în jurul lui. El şi-a expus teoria în lucrarea „Megiste syntaxis” tradusă în latină „Almagesti”, teorie care a constituit baza astronomiei evului mediu, până a fost înlocuită cu teoria heliocentrică a lui Copernic.

2/15/2013

Matematica Islamului de aur


"Un punct pierdut e lumea în haosul imens" (Omar Khayyâm)

 

 


         Cultura arabă a fascinat întotdeauna şi a suscitat interes şi curiozitate pentru oamenii de ştiinţă din restul lumii. Ea a însemnat atât cifrele arabe, cât şi algebra, Avicenna, astrolabul, alambicul, alchimia.
Declinul Imperiului Roman şi prăbuşirea sa în 476 au făcut ca o dată cu intrarea în letargie a culturii romane şi implicit a celei greceşti, să aibă loc o înflorire a celei arabe. Până în epoca formării statului unificat şi a marilor cuceriri, cultura arabă a avut un caracter predominant oral şi practic, izvorât din necesităţile impuse de viaţa aspră din deşerturile peninsulare. Acest caracter practic al culturii pre-islamice s-a retransmis şi ştiinţei arabe din secolele următoare.
Fără marile realizări ale islamului (în artă, ştiinţă, tehnologie) multe dintre cunoştinţele Greciei, Romei şi Egiptului antic ar fi fost pierdute pentru totdeauna, deoarece arabii şi-au făcut un titlu de glorie din a traduce din turcă, persană, ebraică în arabă iar prin traducerile în latină au făcut posibile răspândirea lor în Europa.
Încă din perioada pre-islamică, arabii au intrat în contact cu civilizaţia şi cultura mai dezvoltată din ţările vecine – Siria, Palestina, Persia – prin mijlocirea comunităţilor de sirieni, greci, evrei, persani, statorniciţi în peninsulă sau prin călătoriile făcute de negustorii arabi peste hotare.
Mahomet Abu –l Qâsim Mouhammed, sau simplu în cultul musulman, Mohammed, este profetul fondator al islamului. S-a născut în 570 la Mecca (actualmente în Arabia Saudită) şi a murit în 632 la Medina.
Iată pe scurt câteva repere cronologice care fixează istoria zbuciumată a arabilor:
  • 570, se naşte Mahomet la Mecca;
  • 611, Mahomet are revelaţia misiunii sale; Coranul conţine cuvîntul lui Alah, şi devine cartea sacră a musulmanilor, al cărui principiu fundamental este: "Nu există decât un singur Dumnezeu şi Mahomet este profetul său";
  • 622, începutul erei Hegirei – anul 0 al calendarului musulman;
  • 630, musulmanii îşi încep stăpânirea peste Mecca;
  • 632, profetul Mahomet moare;
  • 642, musulmanii întră în Egipt;
  • 652, cel de-al treilea calif, Uthmân este asasinat; Ali, vărul şi ginerele său îi succede; lumea musulmană se împarte în suniţi, şiiţi şi kharijiţi;
  • 661-750, regatul Omeyyazilor (suniţi); capitala se instalează la Damasc;
  • 670, este fondată moscheea din Kairouan, Tunisia;
  • 711, musulmanii intră în Spania;
  • 732, Charles Mart-el (bunicul lui Charlemaigne) opreşte expansiunea musulmanilorla Poitiers;
  • 750-1258, regatul Abbasizilor (suniţi). Ei fondează oraşul Bagdad care devine în 762 capitala imperiului musulman, centrul politic, economic şi cultural;
  • 1055, turcii selgiucizi preiau controlul asupra Bagdadului;
  • 1095, Papa Urban al II-lea, în Consiliul de la Clermont, dă semnalul pentru începerea Cruciadelor (eliberarea arabilor de sub dominaţia turcilor selgiucizi);
  • 1095-1272, perioada cruciadelor;
  • 1099, asediul Ierusalimului;
  • 1187, Saladin recucereşte Ierusalimul;
  • 1258, mongolii cuceresc Bagdadul;
  • 1291, asediul de la St-Jeans d'Acre reprezintă încheierea perioadei cruciadelor;
  • 1453, sultanul Mehmed al II-lea cucereşte Constantinopolul care devine capitala Imperiului Otoman.


  Figure 1, Cuceririle arabe


          
În timpul cuceririlor musulmane din secolele VII-IX s-a instaurat Califatul, sau Imperiul islamic, unul dintre cele mai mari imperii din istorie. Ascensiunea califatului Abbasid de la 
începutul secolului al VIII-lea precum şi transferarea capitalei de la Damasc la noul oraş Bagdad a marcat începutul acestei perioade, numită şi "epoca de aur a Islamului". Imperiul Islamic se întindea peste Peninsula Iberică, Africa de nord, sudul Italiei, Orientul Mijlociu, Asia centrală.
Apariţia profetului Mohamed către anul 600 şi a noii religii – islamul, au permis crearea unei noi identităţi pentru triburile nomade din peninsula arabică. Islam semnifică în arabă supus puterii divine. Leagănul intelectual şi economic al noii civilizaţii a fost Mecca – oraşul natal al profetului, aflat la răscrucea căilor comerciale ale regiunii.

 
Figure 2, Pagină din Coran

            
După moartea profetului, în 632, marile cuceriri şi extinderea statului arab de la Indus la Oceanul Atlantic au pus pe arabi, începând din secolul al VII-lea, în contact direct cu civilizaţiile şi culturile considerabil mai înaintate decât ale lor, din Imperiul Bizantin, Orientul Apropiat, Persia, Egiptul, Spania, Sicilia, India, China. Vechiul oraş cartaginez Cordoba, a devenit în 756 capitala emiratului condus de Abd ar- Rahman. I.
Cultura clasică arabă s-a format treptat, în condiţiile islamizării ţărilor cucerite, ale sintezei dintre vechea cultură arabă şi culturile din aceste ţări şi a atins culmea înfloririi sale în perioada secolelor VIII-IX, perioadă în care au fost culese şi redactate poeziile orale arabe pre-islamice din secolele VI-VII. Din cauza influenţei islamului, arabii şi-au însuşit în mod unilateral moştenirea culturii antice, interdicţia religioasă de a înfăţişa chipuri de oameni şi animale (provenită din teama de idolatrie) au schimbat evoluţia picturii şi a sculpturii.
Înflorirea culturii arabe în secolele VIII-XII se datorează unui complex de condiţii favorabile, cauzate de avântul economic ce a caracterizat această perioadă. Bazându-se pe moştenirea culturii arabe pre-islamice cultura arabă a acestei perioade s-a caracterizat printr-o vădită înclinare spre studiul ştiinţelor naturii şi al aplicaţiilor practice. Astfel au fost elaborate lucrări speciale pentru nevoile arhitecturii şi tehnicii. De exemplu matematicianul Abu-al-Wafa (940-998) a scris Cartea despre cele ce sunt necesare meşteşugarilor în legătură cu construcţiile.

 

 

Fig.3 Moscheea din Cordoba 

         
Bogatele cunoştinţe de matematică au făcut posibile măreţele construcţii arabe pentru care subordonarea manifestărilor artistice unor norme cu caracter religios le conferă o notă de originalitate. Cel mai vechi monument de arhitectură arabă care s-a păstrat este aşa-numita Cupolă a stâncii din Ierusalim ( în ebraică - Kipat ha Sela), ridicată între 687-691, fiind cea mai veche construcţie islamică funcţională.
Arabii cred că aici este locul din care profetul Mohamed s-a înălţat la cer pe calul său fabulos, pentru ca apoi să se întoarcă pe Pământ şi să-şi transcrie viziunile, iar evreii cred că stânca protejată de cupola aurită este locul pe care s-a aşezat Chivotul Legământului.

Fig.4, Cupola Stâncii
 Dar cea mai remarcabilă creaţie a epocii omeyyazilor este faimoasa moschee din Cordoba, Mezquita, a cărei construcţie a început în 785 pe o veche biserică vizigotă. Moscheea poartă numele Moscheea Aljama, în cinstea soţiei emirului musulman Adb ar- Rahman I , care a proiectat această clădire ca parte ataşată palatului său. Moscheea a suferit o neîntreruptă serie de modificări. Cu toate acestea a rămas cea mai mare şi mai frumoasă dintre cele peste 1000 pe care le deţinea oraşul la acea vreme. Pe lângă această calitate ea era şi a doua clădire, ca mărime, din lumea musulmană. Mezquita a ajuns, în scurt timp, un foarte important loc de pelerinaj pentru musulmani, ţinând cont că moscheea găzduia în acea vreme şi o copie originală a Coranului. Mezquita este impresionantă în primul rând pentru arcele ei uriaşe, susţinute de mai bine de 1000 de coloane din cuarţ, onix, marmură şi granit. Acestea au fost făcute incluzând în ele şi rămăşiţele vechiului templu roman ce ocupa locul mai înainte. Arcele duble, întâlnite des în această clădire au rolul de a susţine greutatea bolţilor. Este decorată cu numeroase figuri geometrice şi motive florale.
În ceea ce priveşte aceste decoraţiuni ale tuturor monumentelor de artă religioasă şi nu numai (Coranul interzicând reprezentarea prin pictură sau sculptură a figurilor umane şi animale), se dezvoltă o decoraţie cunoscută sub numele de arabesc, care deşi nu este inventată de arabi, este promovată de aceştia şi transformată într-un element caracteristic artei lor.     
    Aportul arabilor la cultura şi civilizaţia Europei medievale s-a efectuat prin canalul Spaniei şi al Siciliei. Viaţa intelectuală şi culturală din aceste două ţări aflate sub ocupaţie islamică era superioară celei din restul Europei acelor vremuri. Legăturile artistice ale europenilor cu lumea arabo-islamică încep încă din secolul al VIII-lea, odată cu schimburile comerciale care includeau şi obiecte de artă iar mai târziu, prin intermediul cruciadelor, europenii au cunoscut mai îndeaproape arta arabă. Arhitectura Evului Mediu occidental a fost sensibil influenţată de tradiţiile arhitecturii arabo-musulmane (ferestre duble, arce diferite, creneluri, arcade sau bolte poligonale, suprafeţe traforate).
    Una dintre învăţăturile Coranului spune că "cerneala savanţilor este mai sfântă decât sângele martirilor" şi este unul dintre perceptele care au contribuit major la amplificarea fenomenului cultural şi ştiinţific arab.

 




Figure 5, Palatul Alhambra, Spania

 

           Fără un suport material consistent, dezvoltarea ştiinţei, în speţă a matematicii, nu ar fi fost posibilă. Bogăţia imperiului pe de o parte şi mecenatul conducătorilor pe de alta sunt factori determinanţi. Era tradiţia ca toţi fiii marilor conducători să urmeze cursuri ale şcolilor de elită, să-i studieze pe antici (Euclid, Arhimede, Aristotel, Ptolemeu, Diofant). Era deci nevoie de şcoli şi de profesori.
Până în secolul al X-lea în lumea musulmană nu exista învăţământ organizat, nu existau şcoli, copiilor li se făceau lecţii de morală şi religie în cadrul moscheilor. Către sfârşitul secolului al X-lea a luat fiinţă învăţământul secundar, elevii având întreaga întreţinere asigurată. Unele şcoli aveau o programă de învăţământ de nivel universitar. Nivelul intelectual înalt al lumii islamice medievale este atestat şi de numărul mare de biblioteci precum, de numărul impresionant al volumelor din acestea (exista în Bagdad o bibliotecă însumând 12.000 de volume), precum şi prin calitatea traducerilor din greacă, sanscrită şi chineză. Bagdadul (actuala capitală a Irakului) a fost fieful cultural din timpul califului Al Mamun (a doua jumătate a secolului al VIII-lea). El a creat aici Casa inţelepciunii, Baït al Hikma, concepută de fapt de tatăl său, un adevărat laborator al literaturii, artelor şi ştiinţelor. Aici multe dintre cunoştinţele omenirii de până atunci au fost traduse în arabă din limbile antichităţii, dar şi invers, din arabă în turcă, persană, ebraică, latină.
Bagdadul (în arabă, Madinat As Salam, Oraşul păcii), capitala construită de califul Al Mamun, fiul lui Harun al Rashid (celebrul calif din "1001 de nopţi"), a devenit şi o înfloritoare capitală culturală a lumii musulmane. Al Mamun era obsedat de dorinţa de a asigura unitate şi grandoare vastului său imperiu. Legenda spune că într-o noapte califului i s-ar fi arătat în vis anticul Aristotel, un bătrân cu barbă albă, care aşezat pe un tron, i-ar fi vorbit despre înaintaşi, sfătuindu-l să aleagă calea legii, a credinţei şi a cunoaşterii. Califul a trimis imediat un grup de învăţaţi la Bizanţ pentru a aduce manuscrise şi texte filozofice şi ştiinţifice ale anticilor. Treptat savanţii au achiziţionat manuscrise de la arhivele de stat şi din colecţii private din Alexandria, Damasc, Antiohia, Harran şi alte oraşe. În consecinţă califul a ordonat ca lucrările vechilor greci să fie traduse în arabă ("Elementele" lui Euclid şi "Almagest" al lui Ptolemeu. Dintr-o campanie în India se spune ca Al Mamun ar fi adus o carte (în sanscrită) care se presupune a fi fost a lui Brahmagupta, şi a fost tradusă în arabă sub numele Sinhind.
Această iniţiativă ambiţioasă, a traducerilor în şi din arabă, a durat mai bine de 200 de ani.
Casa înţelepciunii a rezistat până la invazia mongolă din 1258, când Hulegu, nepotul lui Ginghis Han, a ordonat uciderea tuturor membrilor familiei califului, a distrus toate clădirile şi toate cărţile şi manuscrisele au fost aruncate în apele râului Tigru. Se spune că vreo câteva zile apa râului a fost neagră pentru că cernelurilor cu care au fost scrise acestea se dizolvau.
Înţelepţii timpului au beneficiat de începuturile folosirii pe scară largă a hârtiei renunţând la papirusuri. Este drept că hârtia a fost inventată de chinezi, dar în urma bătăliilor arabo-chineze Harun al Rashid a înfiinţat ateliere de producere a hârtiei la Samarkand şi Bagdad unde a folosit informaţiile culese de la prizonierii chinezi, care pentru a-şi salva vieţile au deconspirat secretul fabricării acesteia. Arabii au adus mai apoi numeroase îmbunătăţiri ale tehnologiei de fabricaţie, au utilizat scoarţă de dud şi de mure, au utilizat amidonul, pentru creşterea calităţii hârtiei. Tot ei foloseau pentru scris tocul cu peniţă faţă de chinezi care foloseau pensule. Existau sute de magazine în care se vindeau produse de papetărie necesare pentru scrierea şi legarea cărţilor.
În această perioadă au apărut chiar primele biblioteci publice, primele spitale, chiar spitale de psihiatrie, universităţi, observatoare astronomice, centre de cercetare. Cea mai veche universitate din lume a fost înfiinţată în 859 la Fès, în Maroc – Universitatea Al Qarawiyyin, un secol mai târziu fiind deschisă cea din Cairo (în 975, Universitatea Al – Azhar). În Cordoba erau peste 700 de moschei, 60.000 de palate, 70 de biblioteci (cea mai mare avea 60.0000 de manuscrise), biblioteca din Cairo avea peste două milioane de manuscrise, dintre care 6.500 de matematică şi 18.000 de filozofie, iar cea din Tripoli peste trei milioane, până a fost distrusă de cruciaţi. Numai catalogul cărţilor din marea bibliotecă personală a califului al-Hakam (sec. X) cuprindea 44 de volume.
Un rol deosebit l-a avut oraşul Mecca. Mai întâi a servit ca centru de comerţ în Arabia, dar odată ce s-a înstăpânit tradiţia pelerinajului la Mecca, au fost posibile şi schimburile de idei pe lângă schimburile comerciale. Ca rezultat, civilizaţia islamică a crescut şi s-a extins pe baza economiei sale comerciale, spre deosebire de cea chineză sau indiană care s-a dezvoltat în principal pe baza agriculturii. Comercianţii au dus bunuri dar şi credinţa lor (erau însoţiţi şi de misionari) în China, India, Asia de Sud - Est, în regatele din Africa de Vest. Aici ei au şi investit în agricultură şi fabricarea textilelor.
Au existat bineînţeles şi alte centre culturale majore cum ar fi Cairo, Cordoba Fèz, Samarkand, Marrakesh, care rivalizau cu Bagdadul.
Arabii s-au remarcat în chip deosebit şi în medicină, deşi nu au practicat deschis disecţia, datorită interdicţiilor Coranului. Unul dintre cei mai cunoscuţi medici ai lumii arabe a fost Avicena (Abu ibn Senna), de altfel şi un redutabil matematician.
Lucrările de matematică scrise în această perioadă depăşesc numeric şi ca importanţă pe cele scrise în perioada greco-romană. Savanţii arabi – comparabili cu cei europeni ai Renaşterii (precum Leonardo da Vinci) erau erudiţi multidisciplinari: Al Biruni, Al Jahiz, Al Kindi, Avicenna, Geber, Al-Idrisi, Avenzoar, Ibn Al Nafis, Ibn Khaldun, Al Khwarizmi, Al Musadi, Al Muqaddasi, Al-Tusi, Omar Khayyam şi mulţi alţii.
Arabilor le revine meritul de a fi preluat de la indieni numeraţia cu nouă cifre-simboluri, căreia i-a adăugat cifra zero. Astfel perfecţionat, sistemul de numeraţie zecimală se găseşte în manualul de aritmetică scris de Al- Khwarizmi (780-850), Kitab Al-jabr w'al mouqabala. De la numele matematicianului provine termenul latinizat de algoritm. Noul sistem de numeraţie s-a răspândit în Europa dup anul 1000. Tot Al- Khwarizmi a pus şi bazele calculului algebric.

 Fig 6, Cifrele arabe

Perfecţionarea calculului algebric i s-a datorat lui Omar Khayyam.
Cifrele sistemului nostru zecimal, numite cifre arabe, au fost introduse în Europa în jurul anului 1000. De fapt ele provin din India şi după mai multe transformări grafice au fost transmise de arabi lumii occidentale prin intermediul lui Gerbert D'Aurillac (938-1003), părinte benedictin, un teolog erudit, arhiepiscop de Reims, apoi ales papă sub numele de Silvestru II. Relaţiile ecumenice cu biserica-moschee din Cordoba, şi prin aceasta cu arabii, l-au făcut să fie foarte impresionat de numeraţia zecimală pe care aceştia o foloseau. Este posibil ca sistemul de numeraţie folosit să fi fost adus din India prin intermediul matematicianului Al-Biruni care a trăit mult timp acolo. Cert este că şi Al-Biruni şi Silvester al II-lea au contribuit major la adoptarea sistemului zecimal în Europa. În Italia introducerea sistemului zecimal a fost făcută de Fibonacci şi a fost percepută mult timp ca o codificare misterioasă rezervată doar iniţiaţilor.
Dar folosirea sistematică a numerelor şi a fracţiilor zecimale s-a înstăpânit în Europa abia prin secolul al XV-lea sub influenţa matematicienilor Chuquet, Viète şi Stevin.
    Cultul musulman a impus şi dezvoltarea astronomiei, care nu ar fi fost posibilă fără progresul, dar şi reciproca este de luat în seamă: necesităţile de calcul din astronomie au dus la progresul cunoştinţelor de matematică. Erau necesare întocmirea calendarului islamic (determinat de fazele Lunii), stabilirea lunii Ramadamului şi a orelor de rugăciune, determinarea exactă a direcţiei către oraşul Mecca – necesară orientării corecte a credicioşilor pentru rugăciune. Începând cu secolul al IX-lea, astronomii şi geografii arabi au efectuat operaţii necesare măsurării unui arc de meridian terestru de 1º şi au ajuns la un rezultat foarte apropiat de cel real – 113Km, faţă de 111Km cât este în realitate.
Hegemonia culturii arabe se întinde până în timpul renaşterii, supravieţuind celor opt cruciade duse de europeni.
În procesul de cercetare şi de transmitere a cunoştinţelor ştiinţifice savanţii, denumiţi de arabi "înţelepţii", erau familiarizaţi cu multe domenii ale ştiinţelor. Ei se conduceau după poveţele Coranului care spune de exemplu: "Citeşte! Căci Allah e prea bun. El este cel care l-a învăţat pe om cu condeiul, el l-a învăţat pe om ceea ce nu ştia".
     Dar despre toate acestea şi încă multe altele, în cele ce urmează. Vom vorbi despre câţiva dintre matematicienii arabi, Al- Khwarizmi, Thabit ben Q'ra, Al Battani, Abu Al-Wafa, Abu Kamil, Ibn Al Haytham, Avicena, Bhaskara, Al Tusi, Al Farasi, Al Qalasadi, Omar Khayyam. Contribuţiile lor în domeniul matematicii dar şi al astronomiei (se va vedea că mulţi dintre ei au studiat în câte un observator astronomic) sunt temelie pentru ştiinţele viitoare.
    Am considerat util să-i înşiruim în ordine cronologică şi nu după temele pe care le-au aprofundat, mai ales că mulţi dintre ei, pe parcursul anilor, şi-au preluat lucrările, aprofundându-le şi găsind rezultate noi.