harmonie

MATEMATICA ISLAMULUI DE AUR

 2. Al Khwarizmi (Muhammad ibn Musa al Khwarizmi,  780-850)

Muhammad ibn Musa Al- Khwarizmi, sau simplu,  Al Khwarizmi, este fără îndoială primul mare matematician arab şi în acelaşi timp şi cel mai cunoscut şi îşi merită cu prisosinţă celebritatea  ca „părinte al algebrei”. După nume s-ar părea că el sau strămoşii săi ar fi originari din Khwarizm, undeva în sudul mării Aral.  În acea regiune la Khiva, Uzbekistan se află o statuie modernă a lui Al – Khwarizmi, lucru în esenţă deosebit, ştiut fiind că în conformitate cu normele Coranului niciunde nu pot apărea picturi sau statui înfăţişând animale sau chipuri de oameni.

A trăit în Bagdad în timpul înfloritoarei dinastii abbaside, şi anume chiar în timpul marelui Harun al Rashid şi al fiului acestuia, Al Mamun. Cum aceştia stăpâneau ţinuturile de la marea Mediterană până în India, Casa înţelepciunii fondată de Al Mamun concentra înţelepţi din toată această lume, biblioteca imensă adunase mii de lucrări pe care le traduceau în şi din arabă, la Observatorul astronomic lucrau savanţi din tot orientul.

Al Khwarizmi a scris aici celebrele sale lucrări, exlusiv în arabă,  două dintre ele fiind dedicate suveranului Al Mamun (cea de algebră şi cea de astronomie)

Al Khwarizmi este cel care  a introdus în studiile sale o mare parte din cunoştinţele matematice ale Indiei (a studiat lucrările lui Brahmagupta). A fost totodată un bun cunoscător al lucrărilor lui Ptolemeu[1], în epocă studiindu-se Almagest, lucrarea de căpătâi a acestuia.

  El a scris un tratat, care nu s-a păstrat, dar care este cunoscut prin traducerea sa în latină, în care expune sistemul zecimal indian, metodele de calcul în acest sistem (adunarea, scăderea, înmulţirea), fracţiile, rădăcina pătrată. Pe de o parte el a dat arabilor cunoştinţele indiene, dar se poate spune că a dat occidentalilor cunoştinţele arabe,  prin intermediul traducerilor în latină. Acestea nu au apărut decât în secolul al XIII-lea sub titlul semnificativ Dixit Algorezmi (Al Khwarizmi a spus că…) sau în altă traducere De numero indorum, sau Liber Alchoresmi. Acest nou sistem de calcul a fost desemnat de europeni cu numele de algoritm, în onoarea autorului.

 A avut preocupări în domeniul opticii şi a scris despre natura luminii. A coordonat  şi scrierea unei cărţi de geografie, Kitab –Surat Al- Ard, şi se spune că pentru aceasta a avut în subordinea sa 70 de geografi. Cartea conţine coordonatele a 2402 oraşe.  Astăzi se mai păstrează un singur exemplar în arabă la Biblioteca Universităţii din Strasbourg şi unul în latină la Biblioteca Naţională din Madrid.

Al Khwarizmi este celebru şi printr-un tratat asupra ecuaţiei de gradul al II-lea. Acestea erau cunoscute de babilonieni, iar metode de rezolvare a unor cazuri particulare erau date de Euclid, dar Al Khwarizmi a elaborat primul, o clasificare a ecuaţiilor de gradul al II-lea, dovedind o viziune globală asupra problemei. El nu utilizează nici o notaţie literală, folosind pentru necunoscută termenul rădăcină. Rezolvarea se face nu prin calcul algebric, ci prin construcţii geometrice, în stil euclidian. Lucrarea, considerată pe drept cuvânt, cea mai bună carte de algebră a timpului,  se intitulează Kitâb al-jabr wa al-muqâbalah  şi a fost tradusă în latină sub titlul Algebra. Astfel este justificată originea unuia dintre cele mai importante cuvinte din matematică. Sunt interesante titlurile celor patru capitole ale cărţii: Soluţiile ecuaţiilor, Calculul dobânzilor, Geometria, şi Algebra testamentară.

 Succesorii săi arabi au studiat de asemenea ecuaţia de gradul al II-lea, ba chiar şi de grad mai mare (vezi Omar Khayyam) fără însă a le generaliza. Abia în timpul renaşterii, Cardan a dat soluţiile ecuaţiei algebrice de gradul al III-lea.

Pentru a-şi susţine calculele Al Khwarizmi a justificat mai întâi câteva formule, care astăzi sunt elementare, dar care în acele vremuri erau chiar şi pentru iniţiaţi adevărate pietre de încercare. El a dat  demonstraţiile geometrice ale acestor formule, aşa cum era încetăţenit de la Euclid.

Astfel el a demonstrat că:

Desenele sunt sugestive.

  

Al Khwarizmi a enunţat regulile algebrice ale rezolvării ecuaţiei de gradul al II-lea având una dintre formele: 

            

adică pătratul rădăcinii este egal cu un număr, pătratul rădăcinii este un multiplu al său,  pătratul rădăcinii adunat cu un multiplu al său dau un altnumăr,  pătratul rădăcinii este egal cu un multiplu al său plus un număr, şi  pătratul rădăcinii adunat cu un număr dau un multiplu al său.

Încă sub influenţa matematicii antice greceşti, arabii nu utilizau numere negative, ceea ce explică diferitele cazuri studiate. Pentru o scădere (adică un termen negativ) Al Khwarizmi a stabilit regulile trecerii termenilor dintr-un membru în altul al ecuaţiei. Nici nu se punea problema unei soluţii negative.

Rezolvarea dată de el semăna cu ceea ce astăzi numim trecerea polinomului de gradul al II-lea la forma canonică:

Evident nu se foloseau fracţiile! Însă totul era explicat mai pe larg cu ajutorul figurilor geometrice. Pătratul mare de latură x+2a/4 este format din patru pătrate de latură a/4, patru dreptunghiuri de laturi x şi a/4 şi un pătrat de latură x.

Aşa de exemplu ecuaţia

se scrie:

Încă odată spunem că nu se punea problema soluţiilor negative.

 În acelaşi mod Al Khwarizmi a rezolvat ecuaţiile

Iată cum a făcut rezolvarea ecuaţiei

.

 Se construieşte un pătrat cu latura x, apoi se adaugă acestuia pe laturi în exterior patru dreptunghiuri de laturi x şi respectiv 5/2 şi la final patru pătrate de latură 5/2. În final avem un pătrat cu latura 8, sau,

Mai mult,  Al Khwarizmi s-a ocupat de construcţii geometrice, aşa cum rezultă din următoarea problemă: se dă un triunghi cu laturile 10,10,20 şi în interiorul său se înscrie un pătrat astfel încât două din vârfuri să fie pe o  bază iar celelalte două pe câte una din celelalte două laturi. Cât este  latura pătratului?.

Este uşor de sesizat că triunghiul BED  este asemenea cu triunghiul BAM.

Aşa cum se obişnuia în acel timp, din textul  paginii de manuscris se vede că explicaţia este dată în cuvinte, nu în relaţii matematice. Aceasta este chiar o dovadă a faptului că Elementele lui Euclid îi erau cunoscute.

          

          Chiar dacă nu are „spiritul” euclidian (nu dă nici o definiţie, nici o axiomă, nici vreo demonstraţie de genul euclidian), originalitatea concepţiei şi  profunzimea remarcabilă de care dă dovadă îl fac să bine-merite numele de „părintele algebrei”.

 

 

---

[1] Klaudios Ptolemeu, matematician, astronom şi geograf grec, a trăit la Alexandria, în Egipt, între anii 87-165 d.Hr. În afară de cartea de matematică „Matematike syntaxis” care este o contribuţie esenţială la dezvoltarea trigonometriei, Ptolemeu este celebrul autor al teoriei geocentrice a universului - Pământul este fix şi este situat în centrul Universului iar Soarele, Luna  şi stelele se învârt în jurul lui. El şi-a expus teoria în lucrarea „Megiste syntaxis” tradusă în latină „Almagesti”, teorie care a constituit baza astronomiei evului mediu, până a fost înlocuită cu teoria heliocentrică a lui Copernic.