Numărul de aur – 1. poligoane de aur



    Noţiuni atât de tentant denumite ca număr de aur, tăietură de aur, secţiune de aur, dreptunghi de aur, proporţie divină, au fost folosite de veacuri. Însăşi Euclid defineşte raportul ca fiind "relaţia calitativă în ceea ce priveşte dimensiunea dintre două mărimi omogene, iar proporţia (analogia) reprezintă echivalenţa a două rapoarte ". Ceea ce, algebric înseamnă 

              

Dacă b=c,  proporţia se numeşte "continuă" sau b este medie proporţională (geometrică) între a şi d, iar dacă, c=a+b, obţinem 

 

, 

proporţia cunoscută sub numele de secţiune de aur. Această proporţie a fost botezată proporţie divină de către călugărul bolognez Fra Luca Pacioli di Borgo, care i-a consacrat în 1509 un tratat ilustrat de către amicul său Leonardo da Vinci, dar impresionase şi stârnise curiozităţi încă din antichitate (constructorii piramidelor egiptene, Pitagora, Vitruvius)

              Pentru ca un întreg împărţit în două părţi inegale să pară frumos, trebuie ca între partea mai mică şi cea mai mare să existe acelaşi raport ca între partea mare şi întreg. Să presupunem că întregul este un segment AB. Se spune că punctul C ales astfel încât

,

 împarte segmentul AB în medie şi extremă raţie (denumire dată de Euclid) , sau în tăietură de aur.

Egalitatea de mai sus înseamnă

 ,

cu soluţia pozitivă

           Acest număr este celebrul număr de aur, notat cu litera grecească phi , după iniţiala numelui sculptorului grec, Phidias. Inversul valorii absolute a soluţiei negative este

               Valoarea sa aproximativă este 1,618…

           Dreptunghiul de aur este dreptunghiul ale cărui laturi se află în acela şi raport. Dintre mai multe dreptunghiuri, cel mai "frumos" este acela ale cărui laturi se află în acest raport (aşa cum cred majoritatea oamenilor, nu vorbim de excentricităţi, ci de majoritate).

    

           Evident, este vorba despre primul dreptunghi.

          Construcţia sa corectă, (este imposibil de "măsurat" rădăcina pătrată din 5, numărul iraţional 2,2360679….), corectă însemnând doar cu linia negradată şi compasul, este următoarea :

            Se consideră un segment de lungime AB = a, în B construim o perpendiculară pe segmentul dat pe care luăm BC de lungime egală cu jumătatea lui AB. Construim arcul de cerc cu centrul în C şi de rază AC, care va tăia perpendiculara în D. Atunci

Iar dreptunghiul cu laturile AB şi BD, este dreptunghiul de aur

        Rombul de aur este rombul ale cărei diagonale se află în acest raport.

        Pentagonul de aur este pentagonul regulat care are raportul dintre diagonală şi latură în raportul de aur

Mai mult, o diagonală, să spunem IG, este împărţită de alta, fie ea HF, în secţiune de aur,

          Asupra pentagonuli voi reveni.

           Triunghiul de aur este triunghiul isoscel cu înălţimea relativă la bază egală cu lungimea bazei (întâlnit la Marea Piramidă).

Alte caracterizări :

    - linia mijlocie a unui triunghi echilateral înscris într-un cerc, determină o tăietură de aur :

             - Un pătrat de arie maximă înscris într-un semicerc determină pe diametru aceeaşi secţiune de aur.

     Mai întâi se poate afla că pătratul de arie maximă înscris într-un semicerc de rază R, are latura 

şi în aceste condiţii avem