PLEDOARIE PENTRU GEOMETRIE (1)



  

      Geometria s-a născut nu numai din "agrimensură", aşa cum se spune prea des de către profesorii care încep predarea geometriei elevilor mici, ci cu mult înainte, din nevoile de însuşire, descriere şi folosire a obiectelor şi fenomenelor naturii, în special pe calea vizualului, dar şi tactil şi motor.

      Esenţializând forme şi mişcări ale acestora, pământeşti şi cereşti, lumina şi umbra, ritmul, creşterea şi înmulţirea, viziunea umană însăşi, geometria s-a născut o dată cu cioplirea pietrei şi pictura rupestră. Şi s-a dezvoltat mai întâi prin făurirea de unelte şi obiecte tot mai eficiente, dar şi ornamentate plăcut. De asemenea prin reprezentarea tot mai veridică de relaţii spaţiale – demonstraţii de luptă şi vânătoare, cadrane solare, ritualuri, până la scriere. Totodată s-a dezvoltat prin construcţia tot mai adecvată a adăpostului, cu o geometrie de relaţii şi echivalenţe, deci de caracter topologic, deci o geometrie
calitativă. Se ajunge astfel şi la formele fundamentale geometrice: punct, dreaptă, plan, corespunzând unor forme ale naturii, dar şi la cerc, unghi, cruce, zigzag etc. Îmbinând numărarea - rezultat al clasificării în mulţimi a obiectelor de aceeaşi natură şi al ritmicităţii unor fenomene spaţiale sau temporale – cu precizarea geometrică a formelor obiectelor naturii sau forme create, se ajunge şi la măsurarea acestora, adică la o geometrie cantitativă. Sub acest din urmă aspect (cantitativ) se dezvoltă şi se practică geometria la babilonieni şi egipteni, deşi marile lor creaţii tehnice şi artistice, ornamentica şi scrierea lor, îl mărturisesc şi pe primul (calitativ).

      Dacă grecii secolului al VII-lea î. Hr. au numit geometrie ştiinţa egipteană a "măsurării pământului", ei au şi transformat-o într-o ştiinţă pură şi liberă, adică teoretic fundamentată şi larg difuzată. Devenind şi un mod de gândire, mereu conex sau implicat filozofiei, tehnicii şi artei, geometria greacă şi-a extins puterea de esenţializare asupra tuturor obiectelor şi fenomenelor naturii, odată cu puterea de demonstraţie în toate ştiinţele şi de aplicaţie în toate domeniile de creaţie. S-a remarcat că forma demonstraţiei geometrice, singura cunoscută de la vechii greci, era întrebuinţată în toate ramurile ştiinţei (regăsim astfel originile epistemologiei).

       Geometria greacă dezvoltă în continuare, dar simultan, bipolaritatea originară a calitativului şi cantitativului, prin personalităţi rămase celebre în istorie.

      

     Chemat de Papa Iuliu al II-lea să decoreze camerele apartamentului pontifical, Rafael Sanzio a creat capodopera Şcoala din Atena în care a reuşit să îmbine cerinţele papale – reflectarea Binelui, a Adevărului, a Frumosului şi a Înţelepciunii cu armonia  picturii (am examinat în una dintre postările anterioare cum a respectat Rafael principiul armonic în tablou) .

         Astfel, o geometrie a ordinii, a relaţiilor de poziţie, generată printr-o primă schematizare a luminii şi a simţului vederii, inaugurată de Thales din Milet (624 - 548 î. Hr.), care defineşte egalitatea, asemănarea, proporţiile şi care prin vizări măsoară distanţe între puncte inaccesibile (celebrele probleme de măsurare a distanţei dintre două obiective situate pe cele două maluri ale unui râu).

           De asemenea există o geometrie a măsurii, sau metrică, ce descrie relaţiile de mărime în aceeaşi suprafaţă plană sau spaţială, creată de Pitagora (cca 580 - 495 î. Hr.) - este adevărat, elev al lui Thales, dar care îşi face geometria operantă în aritmetică şi invers prin celebra expresie "numărul este totul". Cu ajutorul asemănării demonstrează vechea vechea şi empiric aplicata relaţie într-un triunghi dreptunghic, celebra teoremă care îi poartă numele, dar care îl conduce la numerele iraţionale √2 √3, √5. În şcoala sa se cunosc cele cinci poliedre regulate.

       Discipolii celor două şcoli propun probleme matematice şi în acelaşi timp filozofice precum: comensurabil – incomensurabil, finit – infinit, discontinuitate – continuitate.

       Democrit (460 - 370 î. Hr.) a reintrodus materia în figurile geometrice, definind astfel atomul, finit dar infinit mic, care generează atât varietatea materiei cît şi a formelor. El spune că: "nu există altceva decât atomi şi spaţiu gol, orice altceva este părere". Pe această cale el stabileşte arii şi volume, şi astronom ca şi Thales, s-a ocupat de propagarea luminii. Scrie primele lucrări de perspectivă.

       Platon (427 - 347 î. Hr.) consideră geometria neaparat necesară filozofilor şi preluând geometria lui Pitagora îşi îndrumă numeroşii discipoli spre geometria în spaţiu şi studiul poliedrelor regulate, el îsuşi punându-le în legătură cu forma atomilor celor patru elemente primordiale: pământ, apă, foc, aer şi chintesenţa lor –eterul. Singurele cinci poliedre regulate îi poartă numele - corpuri platonice.

        Aristotel (384 - 322 î. Hr.), cunoscător al geometriei şi fizicii, filozof prin excelenţă, stabileşte principiile construirii unui sistem deductiv pe bază de definiţii, axiome, ipoteze şi demonstraţii, dar rezolvă şi contradicţiile mai sus arătate, apărute la limita dintre matematică şi filozofie.

       Pe baza studiilor celor de mai sus, cele două geometrii îmbinându-se şi încorporând şi alte domenii, culminează în sec III î. Hr., la şcoala din Alexandria prin alte mari personalităţi.

        Euclid (330 – 275) sistematizează în Elementele, cu adausuri şi demonstraţii originale, geometria plană, proporţiile, numerele iraţionale şi stereometria, care include şi construcţia celor cinci poliedre regulate. Pentru acestea foloseşte (încă insuficient puse în evidenţă) dubla proiecţie şi perspectiva cavalieră de mai târziu.

     De altfel, în "Optica" sa, Euclid expune principiile perspectivei prin proiecţie conică (ceea ce la greci se numea scenografie, încă din timpul lui Eschil).

      Arhimede (287 – 212 î. Hr.) îmbină cele două geometrii cu o mecanică şi o fizică mai întâi experimentale, determină centre de greutate, calculează arii mărginite de curbe plane şi volume mărginite de suprafeţe (de exemplu paraboloidul) prefigurând astfel calculul integral. Defineşte spiralele care-i poartă numele, defineşte şi construieşte cele cinci poliedre regulate şi cele 13 poliedre semiregulate.

        Apollonius din Perga (262 - 200î. Hr.) descrie în lucrarea intitulată "Conice", mai întâi pe calea "geometriei ordinei" un prim exemplu de utilizare a unei forme spaţiale, conul, pentru determinarea prin secţiuni plane a conicelor, numite de el elipsă, hiperbolă, parabolă. Prefigurând astfel geometria proiectivă, Apollonius ajunge şi la relaţiile metrice în aceste curbe şi la o "geometrie analitică intrinsecă" a lor.

        Alexandria rămâne centrul ştiinţific al lumii romane. Mereu în contact cu Orientul, matematica greco-romană de aici descifrează şi defineşte teoretic vechile practici astronomice, constructive şi matematice, ajungând la noi şi mai precise aplicaţii.

        Ptolemeu (cca 87 – 165 d.Hr.), srălucitul astronom, dar şi optician şi geometru, care pune bazele trigonometriei sferice şi ale proiecţiei stereografice şi care emite o părere pertinentă asupra postulatului lui Euclid.

      Vitruviu (cca 60 î.Hr. - 10 d.Hr.), inginer militar, şi arhitect a scris pentru împăratul Augustus o lucrare intitulată "Despre arhitectură" şi care va avea o influenţă colosală asupra arhitecturii Renaşterii, prin teoria proporţiilor şi car, deasemeni, prefigurează pentru proiectare, geometria descriptivă.

        Heron (cca 10 – 70 d. Hr.), inginer şi matematician, dezvoltă în una dintre lucrările sale "Metrica" – o lucrare în trei părţi scrisă în arabă, calculul matematic pentru constructori, arhitecţi şi meşteşugari. Este preocupat, între altele, şi de mecanică –are numeroase invenţii practice, optică şi geodezie. Este, tot atât de celebru autor al "formulei lui Heron" de calcul a arie triunghiului.

       Pappus (cca 292 – 350 d.Hr.) defineşte secţiunile conice ca locuri geometrice plane şi, pe de altă parte, arată că raportul armonic este un invariant, făcând prin acestea un pas decisiv către geometria proiectivă.

          Diofant (cca 200 -298 D. Hr.) scrie "Arithmeticorum" care este de fapt algebră, el chiar fiind considerat părintele algebrei, dar nu fără interpretări geometrice.

         Proclus (410 – 485), ultimul mare filozof clasic, a condus în Atena o şcoală neoplatonică, în care se dezbăteau filozofia lui Platon "Elementele" lui Euclid, astronomia lui Ptolemeu, şi ajunge la o serie de generalizări în geometria metrică şi locurile geometrice.

        Bipolaritatea geometrie – a ordinei şi a măsurii – fecundă la greci până în secolul al V-lea d. Hr., stă la baza geometriei, deci şi a matematicii.

Note 

¹Despre Thales circulă multe legende. Una dintre ele spune că fiind mereu distrat şi nepăsător la ce-i în jurul său, era considerat de mulţi dintre concetăţeni, un ratat. Le-a demonstrat că nu este aşa, când într-o iarnă a cumpărat toate teascurile de ulei de măsline din regiunea sa, deşi preţul măslinelor atunci era foarte mic. Fiind însă un bun astronom, prevăzuse, după mersul astrelor, că va urma un an prielnic acestei culturi, ceea ce s-a şi întâmplat, astfel că în toamna următoare a putut impune preţul uleiului de măsline, îmbogăţindu-se. Dovadă că poţi fi şi matematician (distrat!) dar şi un foarte bun om de afaceri.

² Dintre multele panseuri ce i se atribuie lui Pitagora, unul mai puţin uzitat:: "Nu răspândiţi vestea unei fapte rele! Faceţi în aşa fel încât să-i dispară cât mai curând şi cele mai mici urme. Lăsaţi răul să se stingă de la sine."

 ³ Democrit reprezintă pe de altă parte, o concepţie morală destul de înaltă, faţă de predecesorii săi, dar actual şi astăzi: "Este înţelept nu acel care e preocupat de ceea ce-i lipseşte, ci acel care se bucură de ceea ce are".

⁴ Elev al lui Socrate şi învăţător al lui Aristotel, este creatorul primei şcoli de învăţământ superior, Academia din Atena, care avea rolul de a forma, pe baze raţionale, oameni de stat. Şcoala i-a supravieţuit fondatorului ei, fiind închisă abia în 529 d. Hr.

⁵ A fost educatorul lui Alexandru cel Mare şi întemeietorul propriei sale şcoli, Lykeion, şcoală ce rivaliza cu Academia lui Platon

6 Elementele cuprinde 13 părţi: I – teorema lui Pitagora, II –geometria studiată cu ajutorul algebrei, III – cercul şi proprietăţile sale, IV – triunghiul şi poligoanele regulate înscrise în cerc, V – proporţii, VI – teorema lui Thales şi figurile asemenea, VII – teoria numerelor, VIII – algoritmul lui Euclid, IX – infinitatea numerelor prime, X – numere iraţionale (incomensurabile), XI – perpendicularitate, paralelism, XII – con, cilindru, sferă, XIII – secţiunea de aur şi poliedrele regulate.

 ⁷ Este autorului celebrului "principiu al lui Arhimede" privind corpurile scufundate într-un lichid.

Pe piatra funerară a lui Arhimede a fost inscripţionat, la cererea sa, un desen reprezentând o sferă înscrisă într-un cilindru. Arhimede arătase că raportul dintre aria sferei şi aria totală a cilindrului este egal cu raportul volumelor celor două corpuri şi este egal cu 2/3.

⁸ Klaudios Ptolemaios este autorul concepţiei "geocentriste" potrivit căreia Pământul stă fix în centrul Universului şi toate celelate corpuri cereşti (Soarele, Luna, planetele, stelele) se rotesc pe traiectorii absolut circulare în jurul său. Tot el este autorul primei hărţi a Daciei, pe care sunt fixate coordonatele a cel puţin 50 de localităţi (dave) geto-dacice.

Bibliografie

Adrian Gheorghiu – "Proporţii şi trasee geometrice în arhitectură", Ed. Tehnică, 1991