MATEMATICA ISLAMULUI DE AUR, ABU AL WAFA

 

6. Abu al Wafa (Abu Wafa Buzjani) 940-997

                Pe numele său complet Abu Al Wafa Muhammad ibn Muhammad ibn Yahya ibn Isma il ibn al- Al Abbas- Buzjani, matematicianul persan s-a născut în 940 la Buzjani (de aceea mai este recunoscut ca Al Buzjani) în Nishapur, Iran, dar a trăit în Irak. Este cunoscut atât ca astronom cât şi ca matematician.

El a trăit în timpul dinastiei Buyzilor care a avut o perioadă de maximă amploare în timpul domniei lui Ad - Adud Dawlah (949-983). Acesta a fost un mare patron al artelor şi ştiinţelor şi i-a sprijinit pe mulţi matematicieni printre care şi pe Abu Al-Wafa. Sharaf al Dawlah, fiul lui Adud, a devenit calif în 983. El a continuat să sprijine matematica şi astronomia iar Abu al Wafa a rămas la curtea din Bagdad şi a lucrat pentru noul calif. Sharaf a construit un nou observator astronomic în grădina palatului său din Bagdad, care a fost deschis oficial în prezenţa numeroşilor cărturari  precum Al-Quhi şi Abu Al-Wafa. Printre instrumentele observatorului erau un cadran de peste 6 metri şi un sextant de 18 metri, Abu Al-Wafa a construit primul cvadrant de perete pentru observarea şi studierea stelelor (cvadrantul este un instrument astronomic alcătuit dintr-un sfert de cerc şi o lunetă). Dar când peste un an califul a murit, succesorii săi au închis observatorul.

A scris mai multe cărţi  dintre care majoritatea nu mai există: Kitab ‘Ilm al Hisab  (carte de aritmetică), Kitab al Handasiyya (carte de geometrie)şi  Al Kitab al Kamil  (un fel de compendiu, o versiune simplificată a cărţii lui Ptolemeu, Almageste).

Prima dintre ele era o carte de aritmetică pentru cărturari şi oameni de afaceri. În introducere el scria că aceasta cart „cuprinde tot ce trebuie să ştie un novice în aritmetică”.  Este interesant că el şi-a scris textele fără a folosi cifrele, toate numerele fiind scrise în cuvinte şi toate calculele erau făcute mintal, deşi el era un expert în utilizarea cifrelor indiene deja încetăţenite. dar după cum spunea, carte se adresa novicilor în ale matematicii  dar necesară în mediul de afaceri şi trebuia bine înţeleasă. Lucrarea are şapte capitole: despre rapoarte (despre fracţiile ), despre înmulţire şi împărţire, despre măsurarea distanţelor, ariilor şi volumelor, despre impozitare, despre schimbul banilor, despre plata soldaţilor, despre permise de navigare şi de comerţ. Deosebit de interesant este faptul că în această carte apare pentru prima dată noţiunea de număr negativ, în legătură cu „datoriile”, şi de fapt este singurul manuscris arab în care se găsesc referiri la numerele negative.

Kitab al Handasiyya  descrie construcţiile geometrice necesare pentru un meşter constructor. Cartea are 13 capitole şi descrie instrumentele folosite în construcţii, construcţia unghiului drept, trisecţia (aproximativă) a unghiului, construcţia unei parabole prin puncte (ca rezultat al rezolvării ecuaţiilor de forma 

 ,

construcţia unor poligoane regulate (chiar dificila construcţie a heptagonului), poligoane regulate înscrise şi circumscrise, poligoane înscrise în alte poligoane, triunghiuri sferice. El a avut ca preocupare esenţială construcţiile geometrice cu ajutorul riglei negradate şi a compasului. Când acest lucru nu era posibil găsea metode de aproximare foarte bune.

Pentru calculele din astronomie a avut nevoie de valori cât mai exacte ale funcţiilor trigonometrice. Astfel el a alcătuit tabele de valori din 15’ în 15’, şi mai mult aceste valori aveau câte opt zecimale exacte faţă de trei câte a dat Ptolemeu.

Pentru a determina aceste valori a avut nevoie de relaţii între diferite funcţii trigonometrice. Astfel el a stabilit şi câteva formule trigonometrice deosebit de importante:

 , 

 a folosit formulele pentru 

.

Totodată el a stabilit definiţiile funcţiilor trigonometrice ca segmente a căror variaţie dădea şi variaţia funcţiilor.

Dacă M este un punct variabil pe cercul trigonometric atunci 

iar

 şi

A stabilit şi o relaţie deosebit de interesantă pe triunghiul sferic:

.

(triunghiul sferic este triunghiul de pe sferă format de intersecţia arcelor cu vârfurile în a, B şi C.

               

 Abu al Wafa a dat o construcţie interesantă a unui triunghi echilateral ale cărui vârfuri se află pe laturile unui pătrat.Se construiesc arcele de cerc cu  centrele în A şi respectiv C şi de raze AC şi respectiv CA. Acestea se taie în E şi F. Mijloacele segmentelor CF şi CE sunt M şi respectiv N în care se ridică perpendiculare pe CF şi CE, care taie laturile pătratului în M₁ şi N₁. Atunci triunghiul AM₁N₁ este echilateral (Construcţia nu este unică).

O altă construcţie care-i poartă numele, creată în aceleaşi scopuri practice, se referă la construcţia unui triunghi echilateral înscris în acelaşi cerc în care există un pătrat.

            Evident se poate imediat construi şi hexagonul regulat.  Şi anume, în cercul de centru  O şi rază dată a se duc două diametre perpendiculare care vor determina vârfurile pătratului înscris ANQR. Cu centrul în Q şi aceeaşi rază se trasează al doilea cerc ce îl va intersecta pe primul în punctele B şi C. ABC va fi triunghiul echilateral căutat. Pentru demonstraţii este suficient să se observe că BQCO este un romb (laturi egale şi diametre perpendiculare)  Deci

adică tot atât cât apotema triunghiului echilateral înscris.

Construcţiile geometrice ale lui Abu al-Wafa au  avut un scop precis: ele foloseau în construcţii şi pentru crearea arabescurilor. În Mesquitta del Divendres din Isfaham un motiv atrage atenţia în mai multe locuri de pe faţada sa sau de la boţile porţilor. Ea este inspirată de celebra demonstraţie a teoremei lui Pitagora datorată lui Abu al-Wafa dată în Kitab al Handasiyya.

    

 În semn de omagiu pentru contribuţia sa la dezvoltarea matematicii un crater de pe Lună îi poartă numele iar formula dezvoltării în serie a funcţiei secantă se numeşte formula lui Al-Wafa

  

MATEMATICA ISLAMULUI DE AUR, AL BATTANI

5.  Al Battani (Abu  Andalah  Mohammad  ibn  Jabir  Sinan  al Raqqi  al Harrani  al –Sabi-al Battani 858-929)

	Instrumente astronomice

Se ştiu atât de puţine despre viaţa lui, ca şi despre a altor  savanţi ai timpului. Nu s-au păstrat manuscrisele din biblioteci, uneori incendiile au făcut ravagii, dar tradiţia era ca lucrările cele mai valoroase să fie traduse în latină. În acest fel au ajuns în Europa, chiar dacă trunchiate, sărăcite cumva de bogăţia datelor, sau dimpotrivă, cu exagerări datorate admiraţiei traducătorilor faţă de înaintaşi.

Despre Al Battani se bănuieşte că ar fi de origine princiară. Oricum, tatăl său a fost unul dintre marii producători de instrumente ştiinţifice, astronomice şi nu numai. S-a născut în oraşul Harran (actualmente localitatea se află în Turcia), dar a trăit în Ar Raqqah, un oraş situat în nordul Siriei (particule din numele său dovedesc acest fapt). Preocupările din familie l-au făcut să fie pur şi simplu îndrăgostit de astronomie, fapt pentru care a fost supranumit Ptolemeu arabul, în occident însă a fost tradus cu numele latinizat de Albategni  sau Albatenius. S-a stins în timpul unei călătorii făcute împreună cu alţi savanţi la Bagdad, pentru a protesta faţă de impozitarea abuzivă la care erau supuşi.

În secolul al XVI-lea opera lui Al Battani a fost reeditată sub numele Ştiinţa astrelor.

Studiile sale asupra operei lui Ptolemeu  precum şi Aryabhatiya[1] l-au ajutat să introducă folosirea termenului de semicoardă pentru măsura unghiului la centru (utilizată mai întâi, e drept, de Al Khwarizmi, dar fără al-l putea impune). Semicoarda   () defineşte sinusul unui unghi pe cercul trigonometric (cercul de rază egală cu unitatea). Până atunci se folosea coarda subîntinsă de unghiul dublu. Calculele din astronomie necesitau o mai mare rigoare, aşa că termenul s-a impus, mai ales că un secol mai târziu Abu Al Wafa şi Al Biruni au utilizat-o atât de frecvent încât aşa a rămas. Şi astăzi folosim aceeaşi definiţie pentru sinusul unui unghi.

Tot el a fost cel care a utilizat rezultatul 

 evident în triunghiul dreptunghic de catete a şi b (scrie de exemplu, teorema sinusurilor pentru acest triunghi).

A stabilit şi că 

 şi de asemenea  a fost primul care a utilizat funcţiile secantă şi cosecantă ale  unui unghi.

Se presupune că ar fi folosit şi relaţiile 

 respectiv 

 pentru a calcula în funcţie de tangetă sinusul şi cosinusul unui unghi.

                         Explicaţii date de Al Battani pentru o demonstraţie din Elementele lui Euclid.

Toate rezultatele pe care le-a stabilit în trigonometrie i-au folosit de fapt pentru a-şi desăvârşi calculele de astronomie alcătuind noi tabele  cu măsurători care le-au înlocuit pe cele vechi ale lui Ptolemeu.

A stabilit durata anului solar ca fiind de 365 de zile 5 ore 46 minute şi 24 secunde şi a determinat cu exactitate datele echinocţiilor. O descriere a bolţii cereşti divizată după semnele zodiacului este cuprinsă în una dintre cărţile sale Kitab al Zij, alcătuită din 57 de capitole. Cartea a fost publicată în Europa (în peninsula Iberică) pentru prima dată, în secolul al XII-lea sub numele „De motum sttelarum”.  Tot aici dă detalii despre cele cinci planete cunoscute până în acel moment (Mercur, Venus, Pământ, Marte Şi Jupiter), precum şi amănunte despre diferite instrumente  folosite în observatorul astronomic ca şi despre cadranul solar. A catalogat 489 de stele. A descoperit că eclipsele solare pot fi de formă inelară şi că distanţa maximă Soare-Pământ nu este constantă. În aceeaşi carte sunt de fapt, în primele capitole, toate relaţiile de trigonometrie pe care le-a introdus şi pe care le-a folosit. Cea mai frumoasă carte a sa, păstrată doar în traducere în latină este „De scientia sttelarum. De numeris sttelarum et motibus”.

Cert este că lucrările sale au constituit bază de studiu pentru numeroşi savanţi europeni: Copernic[2] (se consideră că măsurătorile făcute de Al Battani sunt mai riguroase decât ale lui Copernic), Tycho Brahe[3], Kepler[4], Galileo[5].

Realizările sale au fost atât de importante încât  un crater de pe Lună îi poartă numele. Dar mai apropiate de noi ar fi filmele ştiinţifico fantastice, cum ar fi celebrul Star Trec în care o navă stelară se numeşte Exelsior USS Al Battani, iar în Doctor Who există un sistem solar numit Battani 045.

                                                               Triunghiuri sferice

---

[1] Aryabhatiya – lucrare a matematicianului indian Aryabhata, 476-550

[2] Nicolaus Copernic (1473-1543) – astronom ţi matematician polonez, autorul teoriei heliocentrice a sistemului solar

[3] Tycho Brahe (1546-1601) - matematician şi astrnom danez , cele mai exacte măsurători astronomice anterioare descoperirii telescopului.

[4] Johannes Kepler  (1571-1630) – astronom german, a formulat şi confirmat legile mişcării planetelor, iar ca matematician este un precursor al calculului integral.

[5] Galileo Galilei (1564-1642) fizician, matematician, astronom şi filozof, considerat pe drept cuvânt „părintele ştiinţei moderne”.

Matematica Islamului de aur, Abu Kamil

4. .    Abu Kamil  (Shoja ben- Aslam ,850-930)

Mai cunoscut sub numele Al Misri, a fost un matematician născut în Egipt, şi care a trăit  aproximativ  între anii 850-930. Nu se cunosc amănunte legate de viaţa sa dar, în jurul anului 988 un librar pe nume Ibn Nadim a realizat o lucrare, numită Fihrist (în arabă – index) o imagine cât de cât completă a ştiinţei şi literaturii arabe de până atunci. Lucrarea conţine informaţii despre opera lui Abu Kamil. Sunt enunţate cele nouă cărţi scrise de acesta. Trei dinte ele au supravieţuit vremurilor: Algebra, Topografie şi geometrie, Arta calculului, iar celelalte doar prin traduceri în latină şi ebraică.

Pentru perioada de dinainte de Al Khwarizmi nu există informaţii despre matematica în ţările arabe, dar cercetările istoricilor matematicii au stabilit cu certitudine că Abu Kamil a fost succesorul imediat al înţeleptului, „inventatorul algebrei”. Lucrările sale au fost o verigă importantă între cele ale lui Al Khwarizmi şi Al Karaji. Se ştie că lucrările sale l-au influenţat în mod deosebit pe Fibonacci[1], cel care a contribuit decisiv la răspândirea cunoştinţelor matematice arabe în Europa. Dacă Abu Kamil nu ar fi studiat lucrările lui Al Khwarizmi, s-ar fi pierdut o foarte importantă pagină din istoria matematicii şi ar fi fost influenţată altfel dezvoltarea ulterioară a acesteia.

 În cărţile sale s-a preocupat de rezolvarea ecuaţiilor algebrice - în special a celei de forma ,

căutând evident doar soluţiile pozitive, de aplicarea algebrei în calcului elementelor pentagonului şi a decagonului regulat, de ecuaţiile diofantice.

 Deosebită era capacitatea sa de a lucra cu puteri mari şi cu numere pe care astăzi le numim iraţionale. Asta i-a adus supranumele de calculatorul Egiptului. Bineînţeles aceste puteri nu sunt scrise în simboluri, ca astăzi, ci în cuvinte: pentru x²  el spunea pătrat, pentru x⁵ - pătrat, rădăcină, pătrat, pentru x⁶ - cub, cub, pentru x⁸ - pătrat, pătrat, pătrat, pătrat. Oricum, el este primul care a folosit

 fără însă a o scrie explicit. La fel pentru relaţiile   

folosea:  „rădăcina pătrată a lui 18 plus rădăcina pătrată a lui 8 este cât rădăcina pătrată a lui 18 adunată cu opt adunat cu de două ori rădăcina lui 144”.  Ce putere de concentrare trebuie să fi avut matematicianul având în vedere că a fost destul de prolific!

A propus 69 de probleme concrete de algebră, şi se pare că 40 dintre ele au fost puse chiar de Al Khwarizmi.

Concret, el a scris despre rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare cu soluţii numere întrgi şi fracţionare, despre  ceea ce numim astăzi numere iraţionale - căutând soluţii cât mai apropiate de valoarea exactă, despre inegalităţi -  ceea ce este o noutate în matematica vremii. În ceea ce priveşte ecuaţiile diofantice, o preocupare majoră a fost studierea cazurilor ecuaţiilor cu soluţii nedeterminate.

Pentru ecuaţii de grad mai mare, ca de exemplu pentru ecuaţia 

 el foloseşte construcţia unui pentagon regulat, ajungând, cum e şi firesc la numărul de aur.

În timp ce lucrările de algebră erau destinate studiului general al matematicii, studiile geometrice erau rezervată mai degrabă tehnicienilor agricoli ai guvernului, cărora le indica modul de calcul al ariilor suprafeţelor lucrate, perimetrele acestora - explicând concret cazurile triunghiurilor, a dreptunghiurilor, calculul volumelor diferitelor solide (paralelipipedul dreptunghic, piramida patrulateră regulată, prisma dreaptă, conurile). Una dintre preocupări a fost calculul ariei segmentului de cerc, precum şi calculul laturilor şi ariei poligoanelor regulate cu 3,4,5,6,8 şi 10 laturi înscrise şi exînscrise cercului de rază dată. El foloseşte o aproximare foarte bună pentru raportul dintre perimetrul cercului şi diametrul său, adică π,  şi anume 22/7.

 Spuneam că pentru anumite ecuaţii găsirea soluţiilor a necesitat  construcţii geometrice.

Iată una dintre cele mai frumoase probleme: Să se găsească soluţia sistemului:

ştiind că x, y şi z, sunt numere pozitive.

Prima ecuaţie spune că necunoscutele pot fi laturile unui triunghi dreptunghic, z fiind ipotenuza.

 Fie α unul dintre unghiurile ascuţite. Atunci

 şi înlocuind în sistem ajungem la rezolvarea ecuaţiei 

 care are soluţia pozitivă 

 (conjugatul acestui număr sau inversul său fiind numărul de aur, obţinut dintr-o ecuaţie asemănătoare). Din formula fundamentală 

 se găseşte 

 iar din ultima ecuaţie avem  

şi deci

.

Aceasta este o rezolvare cu ajutorul metodelor actuale. Abu Kamil ştia doar că soluţiile trebuie să fie ceva mai mari decât 2 , 3, şi respectiv 4.

Pentru multe proble de acest gen „calculatorul Egiptului” a găsit soluţii care au uimit pe cunoscătorii din acele timpuri care şi-au  manifestat suspiciunea şi  aroganţa faţă de acest qvasi- necunoscut. Acest fapt l-a determinat să scrie cărţi despre acest tip de calcule, recunoscând totodată că multe dintre probleme au derivat, sau chiar sunt, ale lui Al Khwarizmi.

---

[1] Leonardo Fibonacci, matematician italian (1175-1240), este autorul căţii intitulate Liber Abaci (carte de calcul) prin intermediul cărora a fost introdus  în Europa sistemul zecimal propus de arabi, al celebrului şir al lui Fibonacci, dat de recurenţa

 care conduce la nu mai puţin celebrul număr de aur  ca fiind 

 care la  rândul său provine  din, la fel de celebra, secţiune de aur.